6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测·固双基 1. (2023·山东枣庄)已知 O 是坐标原点,若向 量OB→ = (3,2),AB→ = ( - 4,5),则点 A 的坐标 为 ( B ) A. ( - 1,7) B. (7, - 3) C. ( - 1, - 3) D. (7,7) 2. 如图,{ e1, e2 } 是一个基底,且 e1 = (1,0), e2 = (0,1),则向量 a 的坐标为 ( A ) A. (1,3) B. (3,1) C. ( - 1, - 3) D. ( - 3, - 1) 3. 如图所示,向量MN→的坐标是 ( D ) A. (1,1) B. ( - 1, - 2) C. (2,3) D. ( - 2, - 3) 4. (2023·湖北武汉)设点 A(1,2),B(3,5),将 向量AB→按向量 a = ( - 1, - 1)的方向平移后 得到A′B′→为 ( B ) A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,7) 5. 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长 为 1,则向量a + b - c的坐标为 ( A ) A. (1, - 2) B. (1,2) C. (2, - 1) D. ( - 1,2) 请同学们认真完成练案[8] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6. 3. 4　 平面向量数乘运算的坐标表示 素养目标·定方向 课标要求 掌握数乘向量的坐标运算法则,理解用坐标表示平面向量共线的条件,掌握三点共线的判断 方法. 素养要求 通过数乘向量的坐标运算,理解平面向量共线的坐标表示形式,体会数学运算及数学抽象素养. 必备知识·探新知 知识点 1 平面向量数乘运算的坐标表示 　 　 设向量 a = (x,y),则有 λa = 　 　 　 　 　 , 这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实 数乘原来向量的相应坐标. 知识点 2 平面向量共线的坐标表示 　 　 利用向量平行的坐标运算解决共线问题时 可减少运算量且思路简单明快 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 029 设 a = (x1,y1),b = (x2,y2),其中 b≠0. 向量 a,b(b≠0)共线的充要条件是　 　 　 　 　 　 . 知识点 3 定比分点坐标公式 　 　 P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P1P → = λ PP2 →(λ≠ -1),则点 P( x,y)的坐标为 x = x1 + λx2 1 + λ , y = y1 + λy2 1 + λ . ì î í ï ï ï ï 特别 地,线段 P1P2 的中点 P0(x0,y0)的坐标为 x0 = x1 + x2 2 , y0 = y1 + y2 2 , ì î í ï ï ï ï 此公式为中点坐标公式. 　 　 [拓展] 　 两个向量共线条件的三种表示 方法 已知 a = (x1,y1),b = (x2,y2). (1)当 b≠0 时,a = λb. 这是几何运算,体现了向量 a 与 b 的长度 及方向之间的关系. (2)x1y2 - x2y1 = 0. 这是代数运算,用它解决向量共线问题的 优点在于不需要引入参数“λ”,从而减少未知 数的个数,而且使问题的解决具有代数化的特 点和程序化的特征. (3)当 x2y2≠0 时, x1 x2 = y1 y2 . 即两向量的相应坐标成比例,通过这种形 式较易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出 现搭配错误. 练一练: 1. 已知向量 a = (2,4),b = ( - 1,1),则 2a - b = 　 　 　 　 . 2. 已知向量 a = (2,1),b = (x, - 2),若 a∥ b,则 a + b = 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 向量数乘的坐标运算 　 　 典例 1 已知 a = ( - 1, 2 ), b = (2, 1),求: (1)2a + 3b;(2)a - 3b;(3) 12 a - 1 3 b. [分析] 　 可先进行数乘向量的坐标运算, 再进行向量坐标加减运算. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋