6.3.2～6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

6. 3. 2　 平面向量的正交分解及坐标表示 6. 3. 3　 平面向量加、减运算的坐标表示 素养目标·定方向 课标要求 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示,会用坐标表示平面向量的加减 运算. 素养要求 借助平面直角坐标系及平面向量基本定理,学会平面向量的坐标表示及加减运算,体会数学 抽象及数学运算素养. 必备知识·探新知 知识点 平面向量的正交分解及坐标表示 　 　 1.平面向量正交分解的定义 把一个向量分解为两个　 　 　 　 的向量, 叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)定义:在平面直角坐标系中,设与 x 轴、 y 轴方向相同的两个　 　 　 　 　 分别为 i,j,取 { i,j}作为基底. 对于平面内的任意一个向量 a, 由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使得 a = 　 　 　 　 　 　 . 我们把有序数对 (x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a = (x,y) . 此式 叫做向量 a 的坐标表示. (2)特殊向量的坐标:i = (1,0),j = (0,1), 0 = (0,0) . 想一想: 点的坐标与向量坐标有什么区别? 　 　 3.平面向量的坐标运算 设向量 a = (x1,y1),b = (x2,y2),λ∈R,则 有下表: 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分 别等于这两个向量相 应坐标的　 　 　 　 a + b = 　 　 　 　 　 　 减法 两个向量差的坐标分 别等于这两个向量相 应坐标的　 　 　 　 a - b = 　 　 　 　 　 　 数乘 实数与向量的积的坐 标等于用这个实数乘 原来向量的 　 　 　 　 　 λa = 　 　 　 　 　 向量 坐标 公式 一个向量的坐标等于 表示此向量的有向线 段的终点的坐标减去 起点的坐标 已 知 A ( x1, y1 ), B(x2,y2),则AB → = 　 　 　 　 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 026 想一想: 将向量平移到另一个位置,向量的坐标变 不变? 练一练: 1. 已知向量 a = (1,2),b = (3,1),则 b - a = ( B ) A. ( - 2,1) B. (2, - 1) C. (2,0) D. (4,3) 2. 已知AB→ = (1,2),A(3,4),则 B 点坐标是 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 平面向量的坐标表示 　 　 典例 1 (1)已知向量 a 在射线 y = x( x ≥0)上,且起点为坐标原点 O,又 | a | = 2,分别 取与 x 轴,y 轴正方向相同的两个单位向量{ i, j}作为基底,则向量 a 的坐标为 ( A ) A. (1,1) B. ( - 1, - 1) C. ( 2, 2) D. ( - 2, - 2) (2)如图所示,在平面直角坐标系中,i,j 分 别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量,OA→,a 是平面内的向量,且A点坐标为(x,y),则下列说法 正确的是　 ①③. (填序号) 　 　 ①向量 a 可以表示为 a = mi + nj; ②只有当 a 的起点在原点时 a = (x,y); ③若 a = OA→,则终点 A 的坐标就是向量 a 的坐标. 　 　 [归纳提升] 　 求向量坐标的三个步骤: 　 　 平移 → 将向量的始点移至坐标原点 　 　 　 ↓ 　 求角 → 找出以 x 轴正向为始边,向量所在 射线为终边的角 θ 　 　 　 　 　 ↓ 　 求坐标 → 根据 x = rcos θ,y = rsin θ( r 为向量 的模)求终点坐标,即为向量坐标 对点练习❶ 已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, |OA→ | = 4 3,∠xOA = 60°. (1)求向量OA→的坐标; (2)若 B( 3, - 1),求BA→的坐标. 题型二 平面向量的坐标运算 　 　 典例 2 已知平面上三个点 A(4,6)、 B(7,5)、C(1,8),求AB→、AC→、AB→ + AC→、AB→ - AC→的 坐标. [分析] 　 先计算出AB→,AC→的坐标,再进行 向量的线性运算. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋