6.3.1 平面向量基本定理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

　 　 对点练习❹ 已知 e1,e2 是互相垂直的 单位向量,a = e1 - 3e2,b = 2e1 + λe2,且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围是 ( C ) A. - 6,23( )∪ 2 3 , + ∞( ) B. 23 , + ∞( ) C. ( - ∞ , - 6)∪ -6,23( ) D. - ∞ ,23( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 课堂检测·固双基 1. 已知向量 a,b 满足 | a | = 1,a·b = - 1,则 a· (2a - b) = ( B ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 2. 若非零向量 a,b 满足 | a | = | b | ,(2a + b)·b = 0,则 a 与 b 的夹角为 ( C ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 在等腰直角三角形 ABC 中,AB = BC = 4,则AB→ ·BC→ = 　 　 　 　 ,BC→·CA→ = 　 　 　 　 ,CA→· AB→ = 　 　 　 　 . 4. 已知向量 a,b 的夹角为 120°, | a | = 2, | b | = 3,则 |2a + b | = 　 　 　 　 . 5. 已知向量 a 与 b 夹角为 45°,且 | a | = 1, |2a + b | = 10,求 | b | . 请同学们认真完成练案[6] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6. 3　 平面向量基本定理及坐标表示 6. 3. 1　 平面向量基本定理 素养目标·定方向 课标要求 理解平面向量基本定理及其意义,在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他 向量. 素养要求 通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的应用,重点提升数学抽象及 直观想象素养. 必备知识·探新知 知识点 平面向量的基本定理 　 　 1. 定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个 　 不共线向量,那么对于这一平面内的　 任一 向量 a,　 有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a = 　 　 　 　 　 . 　 　 2. 基底:若 e1,e2 　 不共线,我们把{e1,e2} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 022 叫做表示这一平面内　 所有向量的一个基底. 想一想: 1. 基底有哪两个特性? 2. 若 λ1e1 + λ2e2 = 0,则实数 λ1,λ2 一定都 为 0 吗? 3. 当基底{ e1,e2}给定时,向量 a = λ1e1 + λ2e2 的分解形式是唯一的吗? 练一练: 设 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量, 则以下各组向量中不能作为基底的是 ( B ) A. {e1,e2} B. {e1 + e2,3e1 + 3e2} C. {e1,5e2} D. {e1,e1 + e2} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 平面向量基本定理的理解 　 　 典例 1 (多选题)如果 e1、e2 是平面 α 内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确 的是 ( BC ) 　 　 A. a = λe1 + μe2(λ、 μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量 B. 对于平面 α 内任一向量 a,使 a = λe1 + μe2 的实数对(λ,μ)有无穷多个 C. 若向量 λ1e1 + μ1e2 与 λ2e1 + μ2e2 共线, 则 λ1 λ2 = μ1 μ2 D. 若实数 λ、 μ 使得 λe1 + μe2 = 0,则 λ = μ = 0 [分析] 　 应用平面向量基本定理解题时, 要抓住基向量 e1 与 e2 不共线和平面内向量 a 用基底 e1、e2 表示的唯一性求解. 　 　 [归纳提升] 　 (1)对于平面内任一向量都 可以用两个不共线的向量来表示;反之,平面内 的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的 和的形式. (2)向量的基底是指平面内不共线的两个向 量,事实上若 e1,e2 是基底,则必有 e1≠0,e2≠0 且 e1 与 e2 不共线,如 0 与 e1,e1 与 2e1,e1 + e2 与 2(e1 + e2)等,均不能构成基底. 　 　 对点练习❶ (1)点 O 为正六边形 ABC- DEF 的中心,则可作为基底的一对向量的是 ( B ) 　 　 A. OA→,BC→ B. OA→,CD→ C. AB→,CF→ D. AB→,DE→ (2)如图所示,平面内的