6.2.2 向量的减法运算(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

6. 2. 2　 向量的减法运算 素养目标·定方向 课标要求 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算及运算法则,理解向量减法的几 何意义. 素养要求 由向量的加法运算类比得到向量的减法运算,培养数学抽象素养及数学运算素养. 必备知识·探新知 知识点 1 相反向量 定义 与向量 a 长度 　 　 　 　 ,方向 　 　 　 　 的向 量,叫做 a 的相反向量,记作 - a 性质 (1) - ( - a) = 　 　 　 　 (2)零向量的相反向量仍是零向量 (3)a + ( - a) = ( - a) + a = 　 　 　 　 (4)如果 a,b 互为相反向量,那么 a = 　 　 　 , b = 　 　 　 　 ,a + b = 0 想一想: 相反向量就是方向相反的向量吗? 练一练: 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AC 与 BD 相交于点 O,下列互为相反向量的是 ( C ) A. AB→与DC→ B. AO→与OC→ C. AO→与CO→ D. CA→与OC→ 知识点 2 向量的减法 定义 求两个向量　 　 　 　 　 的运算叫做向 量的减法. 可以看出, a - b = a + ( - b),即减去一个向量相当于加上 这个向量的　 　 　 　 　 作法 在平面内任取一点 O,作OA→ = a,OB→ = b,则向量 a - b = 　 　 　 　 . 如图所示 几何 意义 如果把两个向量 a、b 的起点放在一 起,则 a - b 可以表示为从向量 b 的 　 　 　 指向向量 a 的　 　 　 　 的向量 　 　 [拓展] 　 1. 向量减法的三角形法则中,BA→ 表示 a - b,强调了差向量的“箭头”指向被减向 量. 即作非零向量 a,b 的差向量 a - b,可以简记 为“共起点,连终点指向被减” . 2. 由上可知,可以用向量减法的三角形法则 作差向量;也可以用向量减法的定义 a - b = a + ( - b)(即平行四边形法则)作差向量,显然,此 法作图较烦琐. 3. 如图,以 AB,AD 为邻 边作平行四边形 ABCD,则 两条对角线所对应的向量 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 009 AC→ = a + b,DB→ = a - b,这一结论在以后的学习 中应用非常广泛. 练一练: 1. 在△ABC 中,若BA→ = a,BC→ = b,则CA→ = ( D ) A. a B. a + b C. b - a D. a - b 2. 化简PM→ - PN→ +MN→所得的结果是 ( C ) A. MP→ B. NP→ C. 0 D. MN→ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力·攻重难 题 型 探 究 题型一 向量的减法及其几何意义 　 　 典例 1 (1) 如图,四边形 ABCD 中,若AB→ = a,AD→ = b,BC→ = c, 则DC→ = ( A ) A. a - b + c B. b - (a + c) C. a + b + c D. b - a + c (2)如图,已知向量 a,b,c 不共线,求作向 量 a + b - c. [分析] 　 求作两个向量的差向量时,当两 个向量有共同起点,直接连接两个向量的终点, 并指向被减向量,就得到两个向量的差向量;若 两个向量的起点不重合,先通过平移使它们的 始点重合,再作出差向量. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 求作两个向量差向量的 2 种 思路 (1)直接用向量减法的三角形法则,即把两 向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的 终点,指向被减向量的终点的向量. (2)转化为向量的加法来进行,如 a - b,可 以先作 - b,然后作 a + ( - b)即可. 对点练习❶ (2023·安徽芜湖期