6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.4.3.3 余弦定理、 正弦定理应用举例 复习导入 1、余弦定理 2、正弦定理 是外接圆半径） 3、面积公式 复习导入 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度、面积等实际问题.解决这类问题，通常需要进行测量，但往往有一些量难以测量，就需要运用到我们的数学知识解决。为此，我们先复习一下一些基本知识。 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角。 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角。 复习导入 方向角 方位角 从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角。 从某点的指北方向线起依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 新知探究 例9：如图，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量两点间距离的方法，并求出间的距离. 解：如图，在两点的对岸选定两点， 测得，，，，. 在和中，由正弦定理，得 于是，在中，由余弦定理可得 练习巩固 练习1：如图，为了测量隧道口的长度，给定下列四组数据，测量时应选用以下哪组数据？（ ） ．α，a，b　　．α，β，a ．a，b，γ ．α，β，b 【答案】： 变式1-1：如图，两点分别在河的两边，测量两点间的距离. • 解：如图，在A的一侧选取点C，测得 由正弦定理，得 则， 练习巩固 变式1-2：如图，两点都在河的对岸(不可到达).若在河岸选取相距20米的两点，测得，，， 那么此时两点间的距离是多少？ 解：由正弦定理得： 米)， 米). 在中，由余弦定理得， . ∴两点间的距离是. 新知探究 例10：如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度. 解：如图，选择一条水平基线，使三点在同一条直线上. 在两点用测角仪器测得的仰角分别是，，， 测角仪器的高是. 那么，在中，由正弦定理，得 所以，这座建筑物的高度为 练习巩固 练习2：如图所示，是水平面上的两个点，相距800，在点测得山顶的仰角为45°，，又在点测得，其中点是点到水平面的垂足，求山高两. 解：因为，，所以. 因此只需在中求出即可，在中， ，由， 得(). 即山的高度为米. 练习巩固 变式2：如图，某登山队在山脚 </m> 处测得山顶 </m> 的仰角为 <m></m> ，沿倾斜角为 <m></m> 的斜坡前进 <m></m> 后到达 <m></m> 处，又测得山顶 <m></m> 的仰角为 <m></m> ，求山的高度. （精确到 <m></m> ，参考数据： <m></m> ， <m></m> ） 解：如图，过点作<m>交于点</m>， 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， 于是 <m></m> . 又 <m></m> ，所以 <m></m> . 在 <m></m> 中，由正弦定理，得 <m></m> . 在 </m> 中， <m></m> . 所以山的高度约为 </m> . 练习巩固 例11：位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距的处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°)？需要航行的距离是多少海里(精确到1 )？ 解：根据题意，画出示意图.由余弦定理，得 于是，. 由正弦定理，得：于是， 由于，所以. 因此，乙船前往营救时的方向约是北偏东，大约需航行. 练习巩固 练习3：“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的三点进行测量.已知，，于处测得水深，于处测得水深，于处测得水深，则. 【答案】： 练习巩固 变式3-1：如图所示，当太阳光与水平面的倾斜角为 时，一根长为 的竹竿斜放在地面上，要使它的影子最长，求竹竿与地面所成的角. 解：设竹竿与地面所成的角为</m> ，影子长为 <m></m> . 由正弦定理，得 <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， ∴当 <m></m> ，即 <m></m> 时， <m></m> 有最大值. 即当竹竿与地面所成的角是 <m></m> 时，影子最长. 小结 正余弦定理应用距离 测量角度 测量高度 测量距离 实际问题 数学问题（画出图形） 解三角形问题 数学结论 分析转化 $$