上海市复旦大学附属中学浦东分校2023-2024学年高三下学期周测数学试卷2

2023-2024学年上海市复旦大学附属中学浦东分校高三年级 下学期周测数学试卷2 2024.2 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知集合，则______. 2.化简：______. 3.已知正数满足，则的最小值为______. 4.在等差数列中，若和是方程的两个根，则数列的前22项的和等于______. 5.小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若，则。试用上述成果解决问题：已知，则______. 6.的内角的对边分别为，若，且三条边成等比数列，则的值为______. 7.已知非零向量夹角为，则的最小值为______. 8.若方程在的解为，则______. 9.若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______. 10.在的展开式中，的系数为______.（用数字回答） 11.如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点在平面上，顶点到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为______. 12.若为函数的导函数，数列满足，则称为“牛顿数列”。已知函数，数列为“牛顿数列”，其中，则______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（ ）. A.若，则或 B.若，则 C.若，且，则 D.若，则 14.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是　　 A．4 B．5 C．6 D．9 15.甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为　　 A． B． C． D． 16.已知，对于实数，给出以下命题： 命题①：若，则 命题②：若，则． 则以下判断正确的是　　 A．①为真命题；②为真命题 B．①为真命题；②为假命题 C．①为假命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面底面． （1）求证：； （2）若，且四棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值． 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，现有一直径百米的半圆形广场，所在直线上存在两点，满足百米为的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧上选取一点，各修建一条地下管道和通往两点． （1）设，试将管道总长（即线段表示为变量的函数； （2）求管道总长的最大值． 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： （1）估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无人飞机的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为和的近似值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程的概率； （参考数据：若随机变量，则， （3）该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越型、卓越B型和卓越C型，统计分析可知卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例为，研发中心在投放市场前决定分别按卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3架进行综合性能测试，记随机变量是综合性能测试的3架中卓越A型的架数，求随机变量的分布列和数学期望 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆右焦点坐标为，且过点. （1）求椭圆的“伴椭圆”方程； （2）在椭圆的“伴椭圆”上取一点，过该点作椭圆的两条切线、，证明：两线垂直； （3）在双曲线上找一点作椭圆的两条切线，分别交于切点、使得，求满足条件的所有点的坐标. 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 若定义域为的函数）满足:对于任意，都，则称函数具有性质. （1）设函数的表达式分别