17.2 勾股定理的逆定理（八大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）八年级下册数学《第十七章 勾股定理》 17.2 勾股定理的逆定理 知识点一 互逆命题与互逆定理 ●互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. ●互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理， 称这两个定理互为逆定理. ★1、对互逆命题的理解： ①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反； ②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系. ③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式. ★1、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理. 知识点二 勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①找：找出三角形三边中的最长边； ②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； ③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 【注意】 （1）a2+b2=c2只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边. （2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明. ★勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点三 勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． ★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 题型一 逆命题与逆定理 【例题1】（2023秋•固镇县期末）以下命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（　　） A．如果两个数互为相反数，那么它们的和为零 B．如果两个三角形全等，那么它们的周长相等 C．如果ab＞0，那么a，b都是正数 D．如果两个角是两条直线与第三条直线相交所成的同位角，那么这两个角相等 解题技巧提炼 1、写出一个命题的逆命题的关键是分清原命题的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，判断一个命题是真命题要证明，判断一个命题是假命题只有举一个反例即可. 2、判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可，如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理. 【变式1-1】（2022秋•长春期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是　 　． 【变式1-2】（2023秋•永年区期中）下列命题中： （1）对顶角相等； （2）相等的角是对顶角； （3）同一个角的两个邻角是对顶角； （4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角； 其中，互为逆命题的是（　　） A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（4） 【变式1-3】（2023秋•岳阳期末）下列说法：（1）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理；（2）命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题；（3）命题“如果﹣a＝5，那么a＝﹣5”的逆命题为“如果﹣a≠﹣5，那么a≠﹣5”，其中正确的有（　　） A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 【变式1-4】下列定理中，有逆定理