17.1 勾股定理（九大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）八年级下册数学《第十七章 勾股定理》 17.1 勾 股 定 理 知识点一 勾股定理 ●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【拓展】 ◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2. ◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 知识点二 勾股定理的证明 ●通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. ●下面列举几种证明方法： ◆1、“赵爽弦图” 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2． ◆2、我国数学家邹元治的证明方法 证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2ab×4，化简得：a2+b2＝c2． ◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得：a2+b2＝c2． 知识点三 勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ★1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 1、从实际问题中抽象出几何图形； 2、确定所求线段所在的直角三角形； 3、找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 4、求得结果. ★2、勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4)作长为(n＞1，且n为整数)的线段； （5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 知识点四 利用勾股定理作长为的线段(n＞1，且n为整数) 实数与数轴上的点是一 一对应的，有理数在数轴较易找到它对应的点，但要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，因此，我们可以利用勾股定理作长为(n＞1，且n为整数)的线段，进而在数轴上画出表示(n＞1，且n为整数)的点. ◆在数轴上表示的步骤： ①利用勾股定理求出长为的线段； ②在数轴上以原点为圆心，以长为的线段长为半径画弧与数轴的正方向相交，则交点为表示的点. 题型一 利用勾股定理求直角三角形的边长 【例题1】（2023秋•无锡期末）已知，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为2、3，则它的斜边AB的长为（　　） A． B．4 C． D． 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：AB， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 解题技巧提炼 利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论. 【变式1-1】（2023春•龙湖区期末）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或 【变式1-2】（2023秋•绥化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交边BC于点D，若AC，则线段BD的长为（　　） A． B