6.5.1直线与平面垂直(1)课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章 立体几何初步 6.5.1 直线与平面垂直(1) 1.理解和掌握线面垂直的定义、性质定理及线面夹角的定义; 2.理解线线垂直、线面垂直和线线平行间的相互转化; 3.通过启发引导,让学生在探索中寻找真理,培养学生勇于探索,敢于创新的精神. 线面垂直的性质定理. 线面垂直的性质定理的应用. 2 观察下列各组图片,这些图片都给我们什么样的印象呢? 直线与平面垂直 生活中还有哪些线面垂直的例子呢? 观察,天安门广场的旗杆与底面垂直,旗杆所在直线与其在地面的影子所在直线是什么关系呢? 旗杆与地面的其他不相交直线是什么关系呢? 异面垂直 旗杆与地面上的任意直线都垂直吗? 是的(相交垂直或异面垂直) 垂直 尝试用线线垂直来定义线面垂直吧! 影子移动时,旗杆和影子的位置关系是否发生变化? 不变,仍然垂直 一般地,如图,如果直线与平面内的任何一条直线都垂直,那么称直线与平面垂直.记作⊥. 直线称为平面的垂线,平面称为直线的垂面,它们唯一的公共点称为垂足. (1)如果直线与平面内的无数条直线都垂直,那么直线与平面垂直吗? (2)如果直线与平面内的所有直线都垂直,那么直线与平面垂直吗? 不一定 垂直 任何一条直线 所有直线 无数条直线 5 (1)过空间一点有几条直线和已知平面垂直? (2)过空间一点有几个平面与已知直线垂直? 点在面内 点在面外 点在线上 点在线外 有且仅有一个 有且仅有一个 A B C D A′ B′ C′ D′ 四条侧棱AA′、BB′、CC′、DD′之间是什么关系? 互相平行 如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中,侧棱AA′、BB′、CC′、DD′与底面ABCD是什么关系? 垂直 我们知道,在平面内,如果两条直线同垂直于另一条直线,那么这两条直线平行.这个性质能推广到空间吗? 垂直于同一平面的两直线平行 你能证明你的猜想吗? 已知:a⊥,b⊥,垂足分别为A、B. 求证:a∥b. 证明:假定a与b不平行,则过点B作a的平行线b′,b′与b不重合. ∵b b′=B,∴直线b与b′确定一个平面,记为,且记=l. 直接证不好证,可采用反证法. A B a b b′ l ∵a⊥,b⊥,∴b⊥l,a⊥l. 又b′∥a,∴b′⊥l. 此时,在平面内,经过直线l上同一点B就有两条直线b与b′都与l垂直,这与“平面内,过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. ∴a∥b. 线线平行 垂直于同一平面的两条直线平行. 若a⊥,b⊥,则a∥b. 符号语言 直线与平面垂直的性质定理 A B a b 目前为止,我们学了哪些定理可以判定线线平行? 此定理揭示了“平行”与“垂直”间的一种联系. 线面平行 面面平行 线面垂直 性质定理 (1)在空间内,过直线上的任意一点有无数条直线与已知直线垂直,这些直线都在同一平面内,且相交于一点. (2)不能.若两直线垂直于同一平面,则这两条直线平行. (1)在证明直线与平面垂直的性质定理时,用到了“平面内,过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”,那么,在空间内,过直线上的任意一点有多少条直线与已知直线垂直?这些直线之间有什么关系? (2)两异面直线能否垂直于同一平面? 前面我们已经学习了点到平面的距离,即,从平面外一点作一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离. 那么,直线与平面的距离如何定义呢? 如果一条直线与平面平行,那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离. 如果一条直线平行于一个平面,那么这条直线上各点到这个平面的距离有什么关系? 距离均相等 为什么? 已知:直线l与平面平行. 求证:直线l上的各点到平面的距离相等. ∵AE⊥,BF⊥,∴AE∥EF. l A B E F 证明:过直线l上任意两点A,B分别作平面的垂线,垂足分别为E,F. 设过直线AE和BF的平面为,则. ∵l∥,∴l∥EF. ∴四边形AEFB是平行四边形. ∴AE=BF,即直线l上的各点到平面的距离相等. (1)作垂线AE,BF. (2)证明AEBF即可. 直线与平面之间的位置关系有哪些?线面垂直属于哪一类? 线面相交还可细分为两类:垂直和斜交. 线在面内 线面相交 线面平行 如图,一条直线与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线称为这个平面的斜线,斜线与平面的交点A称为斜足. 过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影. 平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角; 一条直线于平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0 的角. 关键在于找线面垂直(PO⊥平面) 已知直线a在平面上,则“直线l⊥a”是“直线l⊥”的( )条件. A.充分非必要 B.必要非充分