2024年中考数学专题训练 二次函数直线过定点类问题

二次函数直线过定点类问题 类型一【构造K字，利用相似求解】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：MN恒过定点，并求出定点坐标． （1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4） （2）【解题思路】： 第一步构造K字 过点D作直线l⊥y轴，过点M、N分别作直线l的垂线，垂足分别为点H、G， 第二步假设点坐标，表示线段长 设点M的坐标为（m，），点N的坐标为（n，）， ∴，， ，， 第三步根据相似三角形对应线段成比例列式找等量关系 ∵ ∴，∴，即， ∴， 整理得：， 第四步表示该直线，整理成y=kx+bk+c的形式 设直线MN为， 将M（m，），N（n，）代入，得 ，解得：， ∴直线MN为， ∵， ∴， ∴直线MN为， ∴当即时，， ∴无论m，n取何值，直线MN总会经过定点（－1，－3）， ∴直线MN恒过定点，该定点坐标为（－1，－3）． 类型二【直接假设点的坐标，根据题意找等量关系】 2．已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4． （1）求抛物线的解析式； （3）如图2，平移抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝﹣2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F（直线PE、PF不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点 【解题思路】 设E（t，t2），F（n，n2），可求PE解析式，由与抛物线有唯一的公共点，可求k1＝2t，即可求点P横坐标，可得tn＝﹣2，设直线EF的解析式为y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0，可求b＝2，即可得直线EF恒过定点（0，2）． 解题过程：由题意可得平移后解析式为y＝x2， 设E（t，t2），F（n，n2）， 设直线PE为y＝k1（x﹣t）+t2， 由题意可得 x2﹣k1x+k1t﹣t2＝0， ∴△＝k12﹣4（k1t﹣t2）＝（k1﹣2t）2＝0， ∴k1＝2t． ∴直线PE为y＝2t（x﹣t）+t2，即y＝2tx﹣t2． 令y＝﹣2，得xP＝， 同理，设直线PF为y＝k2（x﹣n）+n2， ∴xP＝， ∴＝， ∵t≠n， ∴tn＝﹣2． 设直线EF的解析式为y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0， ∴xE•xF＝﹣b，即tn＝﹣b， ∴b＝2． ∴直线EF为y＝kx+2，过定点（0，2）． 【练习题】 1．如图1，抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4． (3)如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由． 2．已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC； （1）求抛物线的解析式； （3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，过H作直线MH，NH，当MH⊥NH时，求MN恒过的定点坐标． （1）y=x2﹣4x+3； 3．如图1，抛物线顶点坐标为，抛物线与x轴交于A，B（A左，B右）两点． （3）如图2，将抛物线向上平移一个单位得抛物线，直线BD交抛物线于点D，F，过点F的直线交抛物线于另一点E，试说明直线DE恒过一定点． 4．在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线与轴的正半轴交于点，为抛物线的顶点，且． (2) 若为对称轴右侧的二次函数图像上的一点，且直线交对称轴于点，点，关于点对称，求证：直线过定点． 5、如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点． (1)求二次函数的解析式及顶点的坐标； (2)过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点． ②证明：无论为何值，▲PMN恒为直角三角形； 1．(1)，； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数直线过定点类问题 类型一【构造K字，利用相似求解】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：MN恒过定点，并求出定点坐标． （1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4） （2）【解题思路】： 第一步构造K字 过点D作直线l⊥y轴，过点M、N分别作直线l的垂线，垂足分别为点H、G， 第二步假设点坐标，表示线段长 设点M的坐标为（