重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题（四大题型）（讲义）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】 题型一：重心定理 题型二：内心定理 题型三：外心定理 题型四：垂心定理 【知识点梳理】 一、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 二、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 【方法技巧与总结】 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上. 为的内心. （2）外心：为的外心. （3）垂心：为的垂心. （4）重心：为的重心. 【典型例题】 题型一：重心定理 【例1】（2024·山东滨州·高一山东省北镇中学校考开学考试）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式1-1】（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（2024·全国·高一假期作业）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 题型二：内心定理 【例2】（2024·高一课时练习）已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则＝ ． 【变式2-1】（2024·全国·高一专题练习）在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ． 【变式2-2】（2024·全国·高一专题练习）设I为的内心，若，，，则 题型三：外心定理 【例3】（2024·陕西商洛·高一校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，则 ；的面积S= ． 【变式3-1】（2024·河南开封·高一校考阶段练习）在锐角中，，若点为的外心，且，则实数的值为 【变式3-2】（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心， ，若，则 ． 【变式3-3】（2024·四川达州·高一四川省万源中学校考期中）已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则= ；的面积为 . 题型四：垂心定理 【例4】（2024·云南昆明·高一校考阶段练习）已知在中，，是的垂心，且满足，则的面积（    ） A． B．8 C． D．4 【变式4-1】（2024·四川成都·高一石室中学校考期中）在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 . 【变式4-2】（2024·江苏泰州·高一统考期末）已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 . 【变式4-3】（2024·全国·高一专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心） 【过关测试】 1．（2024·河南焦作·高一校考阶段练习）已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ） A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心 2．（2024·全国·高一专题练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 3．（2024·全国·高一专题练习）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·广西玉林·高一博白县中学校考开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 5．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 6．（2024·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则O是的