重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题（三大题型）（讲义）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 【题型归纳目录】 题型一：定值问题 题型二：范围与最值问题 题型三：求参问题以及其它问题 【知识点梳理】 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典型例题】 题型一：定值问题 【例1】（2024·全国·高三专题练习）在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【变式1-1】（2024·贵州毕节·统考一模）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-2】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 A． B． C． D． 题型二：范围与最值问题 【例2】（2024·浙江湖州·高三期末）已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·江苏南通·高一统考期末）正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·陕西榆林·统考一模）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：求参问题以及其它问题 【例3】（2024·浙江杭州·高一校联考期末）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ． 【变式3-2】（2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则 ． 【变式3-3】（2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测）设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是 ． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·四川凉山·统考一模）已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·高三校联考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·高一统考阶段练习）如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·全国·高三校联考开学考试）如图，直角三角形中，，点是线段一动点，若以为圆心半径为的圆与直线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东清远·高三统考期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（    ） A．16 B．12 C．5 D．4 6．（2024·江西·校联考一模）已知△ABC是面积为的等边三角形，且，其中实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2024·江苏苏州·高一苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）半径为2的圆上有三点满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖北武汉·高三武钢三中校联考阶段练习）半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（