21.3可化为一元二次方程的分式方程（第3课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

2023-2024学年八年级下册数学同步精品课堂（沪教版） 第 21章代数方程 21.3可化为一元二次方程的分式方程（第3课时） 学习目标 1、会用换元法解简单的分式方程和分式方程组，熟悉解题过程的表达，并从中领会整体思想与化归思想.（重点） 2、掌握“换元法”的思考方法和操作过程，注意“回代”求原方程的根. 知识回顾 分式方程 去分母 解整式方程 检验 增根舍去 是原方程的根 写出分式方程的根 求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤. 思 考 解：法一：去分母 原方程化为： （双二次方程） 法二：设x2=y 原方程化为： 怎样解分式方程 解得：y1=1，y2=2 当y=1时，x=±1， 当y=2时，x=± 经检验： 是原方程的解. 换 元 法 问题： 观察下面的方程，你会求出它的解吗？ y y 设 x2 + 2x = y 探索新知 换元法： 象以上这种用一个字母(y) 来代替原方程中的一个较复杂的代数式 (x2 + 2x)，从而使原方程简化，易于求解的方法，叫换元法。 例题4：用换元法解方程 分析 观察方程左边的两个分式,可见且 为数于是可通过“换元"把原方程化成较简单的分式方程. 两边都乘以2y得到 例题5：用换元法解方程组： 解：设 原方程可化为 代回得 解方程得 经检验 代入原方程组各分式的分母都不为零， 所以原方程组的解为 . 归 纳 用换元法解分式方程的方法和步骤： （1）设元、换元。 （2）解换元后的方程。 （3）把换元后方程的解还原成原未知数的 较简单的分式方程，求方程的根。 （4）验根。 拓展深化 解：方程两边都乘以(x+1)(x-1)得： 分析：增根是分式方程去分母后的整式方程的根，但不是原来分式方程的根。增根使分式方程的最简公分母的值为零。 ① ∵增根x=-1是整式方程①的根， 变式：若把题目中的“出现增根x=-1”改为“有增根”，求k可能的取值。 ∴把x=-1代入①得，k=-2。 题型一：直接换元 例题1 解方程： 题型分类讲解 12 题型二：倒数换元 例题2 解方程： 归纳： 这里用换元法是将方程化繁为简后，再去分母， 直接得到一元二次方程，避免出现高次方程，其 实质还是起到了“降次”的作用. 题型三：配方换元 例题3 解方程： 所以，原方程的根是 例题4 解方程组： 题型四：换元法解分式方程组 分析： 观察方程组中所含的分式，它们的分母是或联想“换元”的方法，如果把看作两个不同的“整体”，分别用代替，即设= ，转化为二元一次方程组进行求解. 8. 【解析】解：设 =a, =b, ∴原方程化为： ， 解得： ， ∴ =1， =2， 19 ∴ ， 解得： ， 经检验： 是原方程组的解． 20 课本练习 1.用换元法解分式方程 - +1=0，如果设 =y,那么原方程化为关于y的整式方程是( ____ ) A.3y2+3y-1=0 B.3y2-3y-1=0 C.3y2-y+1=0 D.3y2-y-1=0 【解析】解：设 =y, A ∴分式方程 - +1=0可化为y- +1=0， 化为整式方程：3y2+3y-1=0， 故选：A． 随堂检测 24 2.用换元法解分式方程时 ，如果设 =y,将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是( ____ ) A.y2+y-2=0 B.y2-2y+1=0 C.2y2-y+1=0 D.2y2-y-1=0 【解析】解：设 =y,则：y- +1=0． A ∴y2+y-2=0． 故选：A． 25 3.用换元法解分式方程 =3时，如果设 =y,那么将原方程变形后表示为整式方程是 　　． 【解析】解： =3， 设 =y, 则原方程化为：y+ =3， 3y2+1=9y, 即3y2-9y+1=0， 故答案为：3y2-9y+1=0． 26 4.用换元法解分式方程 =1时，如果设 =y,将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 　　． 【解析】解： =1， 设 =y,则原方程化为：y- =1， 方程两边都乘y,得y2-2=y, 即y2-y-2=0， 故答案为：y2-y-2=0． 27 5.用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可以化为关于y的整式方程是 　　． 【解析】解： ， 设 =y,则原方程化为：y- =2， 方程两边乘y得：y2-3=2y, 即y2-2y-3=0， 故答案为：y2-2y-3=0． 28 6.用换元法解分式方程： ． 【解析】解：设 =y,则为 = = ， 所以原方程化为：y+ =5， 即y2-5y+6=0， (y-2)(y-3)=0 y-2=0或y