第10讲 三角形的内角和（八大题型）-【帮课堂】2023-2024学年七年级数学下册同步学与练（沪教版）

第10讲 三角形的内角和（八大题型） 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 知识点一、三角形的内角和 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点： (1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边； ③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360° 题型1：三角形内角和定理证明 【典例1】．证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（____________）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【典例2】．如图，已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 题型2：三角形内角和的应用 【典例3】．中，，则（   ） A． B． C． D． 【典例4】．的三角之比是1∶2∶3，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【典例5】．在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例6】．在中，若，则三个内角度数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【典例7】．若三角形三个内角满足，则 ． 题型3：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例8】．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例9】．如图，直线，被直线，所截．若//，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型4：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例10】．如图．在中，平分交于点D．，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【典例11】．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例12】．如图，点是内一点，分别是和的平分线，则等于（    ） A． B． C． D．无法确定 题型5：折叠问题 【典例13】．如图，将△ABC进行折叠，使得点A落在BC边上的点F处，且折痕DE∥BC，若∠B＝56°，则∠BDF等于（    ） A．56° B．54° C．68° D．62° 【典例14】．如图，中，，沿着图中的折叠，点刚好落在边上的点处，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【典例15】．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 题型6：三角形的外角及其性质的应用 【典例16】．如图，在中，D是延长线上一点，，则的度数为（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【典例17】．如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例18】．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例19】．一个三角形的其中两个外角分别是和，则可知第三只外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【典例20】．如图，在中，，角平分线相交于点F，则的度数是（    ） A．130° B．135° C．140° D．145° 题型7：三角板问题 【典例21】．将含有，，的一副三角板按如图所示的方式摆放，则的大小为 （    ）    A． B． C． D． 【典例22】．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（