18.2 勾股定理的逆定理-【良师教案】2023-2024学年八年级下册数学同步教案（沪科版）

数 学 第 １８　 章 　 勾 股 定 理 １８.２　 勾股定理的逆定理 第 １ 课时　勾股定理的逆定理的探究 １.理解勾股定理的逆定理的证明方法. ２.掌握勾股定理的逆定理ꎬ会用其判定直角三角形. ３.经历勾股定理的逆定理的探索过程ꎬ体会数形结合思想在解决问题中的作用. ４.通过一系列富有探究性的活动ꎬ培养学生与他人合作交流的意识和探究精神. 重点 掌握勾股定理的逆定理及其初步应用. 难点 掌握勾股定理的逆定理的证明. 多媒体课件. 引导发现与讲练结合. 一、创设情境ꎬ引入新课 据说几千年前的古埃及人就已经知道ꎬ在一根绳子上连续打上等距离的 １３ 个结ꎬ然后用 钉子将第 １ 个与第 １３ 个结钉在一起ꎬ拉紧绳子ꎬ再在第 ４ 个和第 ８ 个结处各钉上一个钉子ꎬ这 样围成的三角形中最长边所对的角就是直角ꎬ你知道为什么吗? 二、探索新知 １.动手操作(同桌的两人一人操作 Ａ 组ꎬ另一人操作 Ｂ 组) . Ａ 组: (１)画△ＡＢＣꎬ使三边长分别为 ３ ｃｍ、４ ｃｍ、５ ｃｍꎻ (２)画 Ｒｔ△ＡＢＣꎬ使两直角边的长分别为 ３ ｃｍ、４ ｃｍ. Ｂ 组: (１)画 Ｒｔ△ＡＢＣꎬ使两直角边的长分别为 ５ ｃｍ、１２ ｃｍꎻ (２)画△ＡＢＣꎬ使三边长分别为 ５ ｃｍ、１２ ｃｍ、１３ ｃｍ. 问题 １:每人手头上的两个三角形有什么特征? 问题 ２:截下三角形纸片ꎬ同桌的两人交换其中一块ꎬ把有两条边相等的叠到一起ꎬ你有什 么发现? 由此你能提出怎样的猜想? ２.命题猜想: 如果一个三角形的三边长 ａꎬｂꎬｃ 满足 ａ２＋ｂ２ ＝ ｃ２ꎬ那么这个三角形是直角三角形. １０９ 　 　 良 师 教 案 八 年 级 下 ︵ 沪 科 版 ︶ ３.命题证明: 如图ꎬ已知在△ＡＢＣ 中ꎬＡＢ＝ ｃꎬＢＣ＝ａꎬＣＡ＝ ｂꎬ且 ａ２＋ｂ２ ＝ ｃ２ . 求证:∠Ｃ＝ ９０°. 【解析】　 师:通过刚才的动手操作ꎬ你们对此有什么启发? 生:构造直角三角形ꎬ使两条直角边分别是 ａꎬｂꎬ再证全等. 证明:作△Ａ′Ｂ′Ｃ′ꎬ使∠Ｃ′＝ ９０°ꎬＢ′Ｃ′＝ａꎬＣ′Ａ′＝ ｂꎬ∴ Ａ′Ｂ′２ ＝ａ２＋ｂ２ . 又∵ ａ２＋ｂ２ ＝ ｃ２ꎬ∴ Ａ′Ｂ′２ ＝ ｃ２ꎬ∴ Ａ′Ｂ′＝ ｃ(Ａ′Ｂ′>０) . 在△ＡＢＣ 和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中ꎬ ∵ ＢＣ＝ａ＝Ｂ′Ｃ′ꎬＣＡ＝ ｂ＝Ｃ′Ａ′ꎬＡＢ＝ ｃ＝Ａ′Ｂ′ꎬ ∴ △ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′(ＳＳＳ)ꎬ∴ ∠Ｃ′＝∠Ｃ＝ ９０°. 由此可知ꎬ勾股定理的逆命题也是真命题ꎬ称之为勾股定理的逆定理. ４.勾股定理的逆定理. 如果三角形的三边长 ａꎬｂꎬｃ 满足 ａ２＋ｂ２ ＝ ｃ２(或 ａ２＋ｃ２ ＝ ｂ２或 ｂ２＋ｃ２ ＝ ａ２)ꎬ那么这个三角形是 直角三角形. ５.定理的应用. 【例】　 根据下列三角形的三边 ａꎬｂꎬｃ 的值ꎬ判断它是否为直角三角形.如果是ꎬ指出哪一条 边所对的角是直角. (１)ａ＝ ７ꎬｂ＝ ２４ꎬｃ＝ ２５ꎻ (２)ａ＝ ７ꎬｂ＝ ８ꎬｃ＝ １１. 由学生直接思考回答ꎬ教师规范板书. 　 (１)∵ 最大边 ｃ＝ ２５ꎬｃ２ ＝ ６２５ꎬａ２＋ｂ２ ＝ ７２＋２４２ ＝ ６２５ꎬ ∴ ａ２＋ｂ２ ＝ ｃ２ꎬ∴ △ＡＢＣ 是直角三角形ꎬ最大边 ｃ 所对的角是直角. (２)∵ 最大边 ｃ＝ １１ꎬｃ２ ＝ １２１ꎬａ２＋ｂ２ ＝ ７２＋８２ ＝ １１３ꎬ ∴ ａ２＋ｂ２≠ｃ２ꎬ∴ △ＡＢＣ 不是直角三角形. 小结:给定三角形的三边长ꎬ可以借助勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形ꎬ应用 时只要计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 三、课堂练习 １.完成教材第 ５９ 页练习的第 １ꎬ３ꎬ４ 题. 　 第 １ 题:(１)(２)不是ꎬ(３)是 第 ３ 题:由(ａ＋ｃ)(ａ－ｃ)＝ ｂ２得 ａ２－ｃ２ ＝ ｂ２ꎬ即 ａ２ ＝ ｂ２＋ｃ２ꎬ∴ △ＡＢＣ 是以 ｂꎬｃ 为直角边的直角三 角形. 第 ４ 题:用带刻度的皮尺量出桌面的长和宽ꎬ再量出相对的角顶点间的距离ꎬ计算两条较 短边的平方和是否等于最长边的平方.若相等ꎬ则桌面的角是直角ꎬ反之则不是. 　 　 １１０ 数 学 第 １８　 章 　 勾 股 定 理 　 　 ２.完成教材习题 １８.２ 的第 １ꎬ２ 题. 　 习题 １:略 习题 ２:∵ 最长的一边是 ｃ ＝ ４１ꎬａ２ ＋ｂ２ ＝ ８１＋１ ６００ ＝ １ ６８１ ＝ ｃ２ꎬ∴ △ＡＢＣ 为直角三角形ꎬ则 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ ａ􀅰ｂ＝ １ ２ ×９×４０＝ １８０(ｃｍ２) . 四、课堂小结 师:通过本节课的学习ꎬ你有哪些收获? １.勾股定理的逆定理以及其证明过程. ２.勾股定理与其逆定理之间的关系.