17.3 一元二次方程根的判别式-【良师教案】2023-2024学年八年级下册数学同步教案（沪科版）

良 师 教 案 八 年 级 下 ︵ 沪 科 版 ︶ 丢番图 丢番图是古希腊数学家ꎬ生平不详.主要活动年代是根据 １１ 世纪拜占庭学者普赛勒的一封 信来确定的ꎬ其中提到丢番图在 ３ 世纪中叶的某些学术交往.另一条线索见于 ４ 世纪希腊文选 上的一首脍炙人口的短诗:“丢番图的一生ꎬ幼年占六分之一ꎬ青少年占十二分之一ꎬ又过了七 分之一方结婚ꎬ五年后得子ꎬ子先父 ４ 年而卒ꎬ仅为父寿之半” .由此可推知他终年为 ８４ 岁. «算术»一书是丢番图的代表作ꎬ是数学历史上的一部重要著作.丢番图的特点是使问题的 求解完全脱离了几何形式ꎬ在希腊数学中独树一帜.«算术»一书成为世界最早的系统数学专著 之一.对后来的阿拉伯数学ꎬ文艺复兴时期的意大利数学乃至整个欧洲的数学产生了巨大的影 响ꎬ也为包括韦达、费马、高斯在内的许多数学家提供了创作源泉. １７.３　 一元二次方程根的判别式 １.掌握 ｂ２－４ａｃ>０ 时ꎬａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０(ａ≠０)有两个不等的实数根ꎬ反之也成立ꎻｂ２－４ａｃ ＝ ０ 时ꎬ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０(ａ≠０)有两个相等的实数根ꎬ反之也成立ꎻｂ２－４ａｃ<０ 时ꎬａｘ２＋ｂｘ＋ｃ ＝ ０(ａ≠０)没有 实根ꎬ反之也成立.掌握它们之间关系的运用. ２.复习用配方法解一元二次方程(其中 ｂ２－４ａｃ>０ꎬｂ２－４ａｃ＝ ０ꎬｂ２－４ａｃ<０ 各一题)ꎬ分析它们 根的情况ꎬ从具体到一般ꎬ给出三个结论并应用它们解决一些具体问题. ３.通过对一元二次方程根的判别式的认识过程ꎬ培养学生观察问题、发现问题、解决问题的 能力. ４.通过生活学习数学ꎬ并通过用数学知识解决生活中的问题来激发学生的学习热情ꎬ培养 学生锲而不舍的钻研精神和科学态度. 重点 ｂ２－４ａｃ>０⇔一元二次方程有两个不相等的实数根ꎻｂ２－４ａｃ ＝ ０⇔一元二次方程有两个相等 的实数根ꎻｂ２－４ａｃ<０⇔一元二次方程没有实数根. 难点 从具体题目来推出一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０(ａ≠０)中 ｂ２－４ａｃ 的情况与根的关系. 小黑板、多媒体课件. 讲练结合. 　 　 ７０ 数 学 第 １７　 章 　 一 元 二 次 方 程 一、复习引入 学生活动 师:同学们ꎬ用公式法解下列方程. (１)２ｘ２－３ｘ＝ ０ꎻ (２)３ｘ２－２ ３ ｘ＋１＝ ０ꎻ (３)４ｘ２＋ｘ＋１＝ ０. 指名板演ꎬ其余学生在练习本上完成. 师:同学们做得非常好! 我们一起来总结一下:(１) ｂ２－４ａｃ ＝ ９>０ꎬ方程有两个不相等的实 数根ꎻ(２)ｂ２－４ａｃ＝ １２－１２＝ ０ꎬ方程有两个相等的实数根ꎻ(３)ｂ２－４ａｃ＝ １－１６＝ －１５<０ꎬ方程没有实 数根. 二、探索新知 师:从前面的具体问题ꎬ我们已经知道 ｂ２－４ａｃ>０(<０ꎬ＝ ０)与根的情况ꎬ现在我们从求根公 式的角度来分析: 求根公式:ｘ＝ －ｂ± ｂ２－４ａｃ ２ａ ꎬ当 ｂ２－４ａｃ>０ 时ꎬ根据平方根的意义ꎬ ｂ２－４ａｃ等于一个具体数ꎬ 所以一元二次方程的根 ｘ１ ＝ －ｂ＋ ｂ２－４ａｃ ２ａ ≠ｘ２ ＝ －ｂ－ ｂ２－４ａｃ ２ａ ꎬ即方程有两个不相等的实数根.当 ｂ２－４ａｃ＝ ０ 时ꎬ根据平方根的意义 ｂ２－４ａｃ ＝ ０ꎬ所以 ｘ１ ＝ ｘ２ ＝ －ｂ ２ａ ꎬ即方程有两个相等的实数根ꎻ当 ｂ２－４ａｃ<０ 时ꎬ根据平方根的意义ꎬ负数没有平方根ꎬ所以方程没有实数根. 我们把 ｂ２－４ａｃ 叫做一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ ＝ ０(ａ≠０)根的判别式ꎬ通常用符号“Δ”来表 示ꎬ即 Δ＝ ｂ２－４ａｃ. 因此ꎬ(结论)(１)当 ｂ２－４ａｃ>０ 时ꎬ一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０(ａ≠０)有两个不相等的实数 根ꎬ即 ｘ１ ＝ －ｂ＋ ｂ２－４ａｃ ２ａ ꎬｘ２ ＝ －ｂ－ ｂ２－４ａｃ ２ａ ꎻ (２)当 ｂ２ －４ａｃ ＝ ０ 时ꎬ一元二次方程 ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ ＝ ０(ａ≠０)有两个相等的实数根ꎬ即 ｘ１ ＝ ｘ２ ＝ －ｂ ２ａ . (３)当 ｂ２－４ａｃ<０ 时ꎬ一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０(ａ≠０)没有实数根. 【例 １】　 不解方程ꎬ判定下列方程根的情况: (１)１６ｘ２＋８ｘ＝－３ꎻ　 　 (２)９ｘ２＋６ｘ＋１＝ ０ꎻ (３)２ｘ２－９ｘ＋８＝ ０ꎻ　 　 (４)ｘ２－７ｘ－１８＝ ０. 【解析】　 不解方程ꎬ判定根的情况ꎬ只需用 ｂ２－４ａｃ 的值大于 ０、小于 ０、等于 ０ 的情况进行 分析即可. 　 (１)原式化为 １６ｘ２＋８ｘ＋３＝ ０ꎬ 这里 ａ＝ １６ꎬｂ＝ ８ꎬｃ＝ ３ꎬｂ２－４ａｃ＝ ６４－４×１６×３＝－１２８<０ꎬ ∴ 方程没有实数根. ７１ 　 　 良 师 教 案 八 年 级 下 ︵ 沪 科 版 ︶ (２)ａ＝ ９ꎬｂ＝ ６ꎬｃ＝ １ꎬ ｂ２－