17.2 一元二次方程的解法-【良师教案】2023-2024学年八年级下册数学同步教案（沪科版）

数 学 第 １７　 章 　 一 元 二 次 方 程 １７.２　 一元二次方程的解法 第 １ 课时　直接开平方法 １.理解一元二次方程“降次”———转化的数学思想ꎬ并能应用它解决一些实际问题. ２.提出问题ꎬ列出缺一次项的一元二次方程 ａｘ２＋ｃ＝ ０ꎬ根据平方根的意义解出这个方程ꎬ然 后将知识迁移到解 ａ(ｅｘ＋ｆ) ２＋ｃ＝ ０ 型的一元二次方程. ３.通过用直接开平方法解一元二次方程的认识过程ꎬ培养学生发现问题、解决问题的能力. ４.通过生活学习数学ꎬ并通过用数学知识解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 重点 运用开平方法解形如(ｍｘ＋ｎ) ２ ＝ ｐ(ｐ≥０)的方程ꎬ并领会“降次”———转化的数学思想. 难点 根据平方根的意义解形如 ｘ２ ＝ｎ(ｎ≥０)的方程ꎬ并将知识迁移到根据平方根的意义解形如 (ｍｘ＋ｎ) ２ ＝ ｐ(ｐ≥０)的方程. 多媒体课件. 讲练结合. 一、复习引入 师:请同学们完成下列各题. 　 　 问题:如图所示ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｂ＝ ９０°ꎬ点 Ｐ 从点 Ｂ 开始ꎬ沿 ＡＢ 边向点 Ａ 以 １ ｃｍ / ｓ 的速度 移动ꎬ点 Ｑ 从点 Ｂ 开始ꎬ沿 ＢＣ 边向点 Ｃ 以 ２ ｃｍ / ｓ 的速度移动ꎬ如果 ＡＢ＝ ６ ｃｍꎬＢＣ＝ １２ ｃｍꎬＰꎬＱ 两点都从 Ｂ 点同时出发ꎬ几秒后△ＰＢＱ 的面积等于 ８ ｃｍ２? A B C P Q 教师点评: 设 ｘ 秒后△ＰＢＱ 的面积等于 ８ ｃｍ２ꎬ 则 ＰＢ＝ ｘꎬＢＱ＝ ２ｘꎬ 依题意得 １ ２ ｘ􀅰２ｘ＝ ８ꎬ 整理得 ｘ２ ＝ ８ꎬ 根据平方根的意义ꎬ得 ｘ＝±２ ２ ꎬ 即 ｘ１ ＝ ２ ２ ꎬｘ２ ＝－２ ２ . ４５ 　 　 良 师 教 案 八 年 级 下 ︵ 沪 科 版 ︶ 可以验证ꎬ２ ２和－２ ２都是方程 １ ２ ｘ􀅰２ｘ＝ ８ 的根ꎬ但是移动时间不能是负值ꎬ所以 ｘ ＝ －２ ２ 舍去ꎬ所以 ２ ２秒后△ＰＢＱ 的面积等于 ８ ｃｍ２ . 二、探索新知 １.师:上面我们已经讲了 ｘ２ ＝ ８ꎬ根据平方根的意义ꎬ直接开平方得 ｘ ＝ ±２ ２ ꎬ如果把 ｘ 换元 为 ２ｔ＋１ꎬ即(２ｔ＋１) ２ ＝ ８ꎬ是否也能用直接开平方的方法求解呢? (学生分组讨论) 生:可以. 教师点评:回答是肯定的ꎬ把 ２ｔ＋１ 变为上面的 ｘꎬ那么 ２ｔ＋１＝±２ ２ ꎬ 即 ２ｔ＋１＝ ２ ２或 ２ｔ＋１＝－２ ２ ꎬ 方程的两根为 ｔ１ ＝ ２ － １ ２ ꎬｔ２ ＝－ ２ － １ ２ . ２.例题讲解. 【例 １】　 解方程:ｘ２＋４ｘ＋４＝ １. 【解析】　 很明显ꎬｘ２＋４ｘ＋４ 是一个完全平方公式ꎬ那么原方程就转化为(ｘ＋２) ２ ＝ １. 　 由已知ꎬ得:(ｘ＋２) ２ ＝ １ꎬ 直接开平方ꎬ得:ｘ＋２＝±１ꎬ 即 ｘ＋２＝ １ 或 ｘ＋２＝－１ꎬ 所以方程的两根为 ｘ１ ＝－１ꎬｘ２ ＝－３. 【例 ２】　 市政府计划两年内将人均住房面积由现在的 １０ ｍ２提高到 １４.４ ｍ２ꎬ求每年的人均 住房面积增长率. 【解析】 　 设每年的人均住房面积增长率为 ｘ.一年后人均住房面积就应该是 １０＋１０ｘ ＝ １０(１＋ｘ)ꎻ两年后人均住房面积就应该是 １０(１＋ｘ)＋１０(１＋ｘ)ｘ＝ １０(１＋ｘ) ２ . 　 设每年的人均住房面积增长率为 ｘꎬ 则 １０(１＋ｘ) ２ ＝ １４.４ꎬ 即(１＋ｘ) ２ ＝ １.４４ꎬ 直接开平方ꎬ得 １＋ｘ＝±１.２ꎬ 即 １＋ｘ＝ １.２ 或 １＋ｘ＝－１.２ꎬ 所以方程的两根是 ｘ１ ＝ ０.２＝ ２０％ ꎬｘ２ ＝－２.２. 因为每年的人均住房面积的增长率应为正的ꎬ因此ꎬｘ２ ＝ －２.２ 应舍去.所以每年的人均住房 面积增长率应为 ２０％ . 教师引导提问:解一元二次方程ꎬ它们的共同特点是什么? (学生小结) 共同特点:把一个一元二次方程“降次”ꎬ转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为 “降次转化思想” . 三、课堂练习 完成教材第 ２３ 页的练习. 　 　 ４６ 数 学 第 １７　 章 　 一 元 二 次 方 程 　 　 　 (１)ｘ１ ＝ ５ꎬｘ２ ＝－５　 (２)ｘ１ ＝ ０.９ꎬｘ２ ＝－０.９　 (３)ｘ１ ＝ ３ꎬｘ２ ＝－５　 (４)ｘ１ ＝ ２＋ ２ ꎬｘ２ ＝ ２－ ２ 四、课堂小结 本节课应掌握: 由应用直接开平方法解形如 ｘ２ ＝ ｐ ( ｐ≥０) 的方程ꎬ转化为应用直接开平方法解形如 (ｍｘ＋ｎ) ２ ＝ ｐ(ｐ≥０)的方程ꎬ那么 ｍｘ＋ｎ＝± ｐ ꎬ达到降次转化的目的.