第10讲 矩形（十二大题型）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第10讲 矩形（十二大题型） 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 题型1：矩形性质 【典例1】．关于矩形的性质、下面说法错误的是（    ） A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的两组对边分别相等 C．矩形的两组对边分别平行 D．矩形的对角线互相垂直平分且相等 【典例2】．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（    ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【典例3】．已知矩形的两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2：利用矩形的性质求线段长 【典例4】．矩形中，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例5】．如图，矩形ABCD的对角线，则BD的长为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【典例6】．矩形的一条边长是a，两条对角线的夹角为，则矩形的另外一条边长等于（    ） A． B． C． D． 【典例7】．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　） A．3 B． C．3 D． 【典例8】．如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作的垂线分别交于E，F两点，若，则的长度为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型3：利用矩形的性质求角度 【典例9】．如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【典例10】．将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【典例11】．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于(    ) A．110° B．115° C．120° D．125° 【典例12】．若矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线相交所成的锐角是（ ） A． B． C． D． 【典例13】．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（    ） A．36° B．30° C．27° D．18° 题型4：利用矩形的性质求面积 【典例14】．矩形的对角线长为10，两邻边之比为，则矩形的面积为（    ） A．48 B．24 C．50 D．以上答案都不对 【典例15】．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是cm，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【典例16】．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型5：矩形的性质与平面坐标系 【典例17】．如图，在长方形中，，，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例18】．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____． 【典例19】．在平面直角坐标系中，一个长方形三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为__________． 题型6：根据矩形的性质证明 【典例20】．如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，，求证：． 【典例21】．如图，已知矩形中，点，分别是，上的点，，且． （1）求证：； （2）若，求：的值． 题型7：矩形的判定 【典例22】．下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（　　） A．四个内角都相等 B．四条边都相等 C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形 【典例23】．下列说法不正确的是（    ） A．有一个角为直角的