第一章 整式的乘除 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年七年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS 数 学 第一章　整式的乘除 本章综合提升 1. 转化思想 通过对条件的转化、结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，化未知为已 知，最终解决问题，这个过程体现了转化的思想方法. 链接本章 在利用几何图形验证乘法公式知识中，转化思想主要是将“几何图形的面 积”问题转化为“乘法公式”问题. 　　【例1】　如图所示，将两个长方形用不同方式拼成图①和图②两个图形. （1）若图①中的阴影部分面积为 a 2－ b 2，则图②中的阴影部分面积 为 （用含字母 a ， b 的代数式表示）. （2）由（1）你可以得到的等式是 ⁠. （3）根据你所得到的等式解决下面的问题： ①若 x 2－ y 2＝16， x － y ＝2，则 x ＋ y ＝ ⁠. ②计算：67.752－32.252. 解：②原式＝（67.75＋32.25）（67.75－32.25）＝100×35.5＝3 550. （ a ＋ b ）（ a － b ）　 a 2－ b 2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）　 8　 【变式训练1】 如图所示，从边长为（ a ＋5） cm的正方形纸片中剪去一个边长为（ a ＋1）cm的正方形（ a ＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），求长方形的面积. 解：由拼图可知，长方形的长为（ a ＋5）＋（ a ＋1）＝（2 a ＋6）cm，宽为 （ a ＋5）－（ a ＋1）＝4（cm），所以长方形的面积为（2 a ＋6）×4＝（8 a ＋ 24）（cm2）. 答：长方形的面积为（8 a ＋24）cm2. 2. 分类讨论思想 分类讨论思想在研究与解决数学问题时，如果问题不能以同一种方法处理或 同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定 的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又 有区别的部分，然后进行讨论，再把这几类结论汇总，从而得出问题的答案. 链接本章 当不能确定完全平方公式的类型时往往需要进行分类讨论. 【例2】　（2023·盐城大丰区期中）已知多项式 A ＝（ m －3）2－（2－ m ） （2＋ m ）＋2. （1）化简多项式 A . 解：（1） a ＝（ m －3）2－（2－ m ）（2＋ m ）＋2＝ m 2－6 m ＋9－（4－ m 2）＋2＝ m 2－6 m ＋9－4＋ m 2＋2＝2 m 2－6 m ＋7. （2）若 x 2－2 mx ＋4是一个完全平方式，求 A 的值. 解：（2）因为 x 2－2 mx ＋4是一个完全平方式，所以－2 m ＝±2×1×2，所以 m ＝±2.当 m ＝2时， A ＝2×22－6×2＋7＝8－12＋7＝3；当 m ＝－2时， A ＝ 2×（－2）2－6×（－2）＋7＝8＋12＋7＝27.故所求 A 的值为3或27. 【变式训练2】 （2023·金华东阳期中）将16 x 2＋1添上一项，使它成为（ a ＋ b ）2的形式， 则可以添的项为 ⁠. 3. 数形结合思想 数形结合通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的 结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. 链接本章 在本章利用几何图形拼图的方式，运用面积的方法来验证乘法公式的过程 中，体现了数形结合思想. ±8 x 或64 x 4或 　 【例3】　新视野阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以 用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表 示，例如：2 a （ a ＋ b ）＝2 a 2＋2 ab 就可以用如图①所示的图形面积来表示. （1）请写出图②所表示的代数恒等式. 解：（1）因为大长方形是由两个面积为 a 2的正方形、两个面积为 b 2的正方形及5个面积为 ab 的长方形组成，所以大长方形的面积为2 a 2＋5 ab ＋2 b 2.又因为大长方形两邻边的长分别为2 a ＋ b ， a ＋2 b ，所以大长方形的面积为（2 a ＋ b ）（ a ＋2 b ），所以题图②所表示的代数恒等式为（2 a ＋ b ）·（ a ＋2 b ）＝2 a 2＋5 ab ＋2 b 2. （2）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式（ a ＋ b ）（2 a ＋ b ）＝2 a 2＋3 ab ＋ b 2.