第一章 专题一 运用乘法公式进行计算的技巧(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年七年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS 数 学 第一章　整式的乘除 专题一　运用乘法公式进行计算的技巧 类型1　运用乘法公式的变形求代数式的值 1. 若（ a ＋ b ）2＝13，（ a － b ）2＝7，求 a 2＋ b 2和 ab 的值. 思路分析： 直接利用完全平方公式将原式展开，两式相加即可求出 a 2＋ b 2的 值；两式相减即可得出 ab 的值，求出答案即可. 解：因为（ a ＋ b ）2＝13，（ a － b ）2＝7， 所以 a 2＋2 ab ＋ b 2＝13，①　 a 2－2 ab ＋ b 2＝7，② ①＋②，得 a 2＋2 ab ＋ b 2＋ a 2－2 ab ＋ b 2＝20，则 a 2＋ b 2＝10； ①－②，得4 ab ＝6，则 ab ＝ . 直接利用完全平方公式将原式展开，两式相加即可求出 a 2＋ b 2的 值；两式相减即可得出 ab 的值，求出答案即可. 类型2　运用乘法公式进行简便计算 2. 计算： （1）195×205；　　　　　　　（2）10 ×9 ； 思路分析：观察所求式子的特征，合理选择乘法公式，熟记平方差公式和完全平 方公式是解题的关键. 解：（1）195×205＝（200－5）×（200＋5） ＝2002－52＝39 975. （2）10 ×9 ＝ × ＝100－ ＝99 . 观察所求式子的特征，合理选择乘法公式，熟记平方差公式和完全平 方公式是解题的关键. （3）99×101×10 001；　　 （4） . 解：（3）99×101×10 001 ＝（100－1）×（100＋1）×10 001 ＝（10 000－1）×（10 000＋1） ＝100 000 000－1 ＝99 999 999. （4） ＝ ＝1－ ＋ ＝0.980 1. 类型3　与乘法公式有关的探索求值 3. 你会求（ a －1）（ a 2 023＋ a 2 022＋ a 2 021＋…＋ a 2＋ a ＋1）的值吗？ 这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （ a －1）（ a ＋1）＝ a 2－1； （ a －1）（ a 2＋ a ＋1）＝ a 3－1； （ a －1）（ a 3＋ a 2＋ a ＋1）＝ a 4－1. （1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到 （ a －1）（ a 2 023＋ a 2 022＋ a 2 021＋…＋ a 2＋ a ＋1）的值为 ⁠. a 2 024－1 （2）利用上面得到的结论求52 023＋52 022＋52 021＋…＋52＋5＋4的值. 思路分析：探究规律时要注意是否每一项都和所得到的结论一致，如果有多项或 者缺项，要适当进行减数或者添数. 解：（2）52 023＋52 022＋52 021＋…＋52＋5＋1＝（5－1）（52 023＋52 022＋52 021 ＋…＋52＋5＋1）× ＝ ×（52 024－1），所以52 023＋52 022＋52 021＋…＋52＋5 ＋4＝ ＋3＝ . 探究规律时要注意是否每一项都和所得到的结论一致，如果有多项或 者缺项，要适当进行减数或者添数. 类型4　运用乘法公式解决实际问题 4. 如图所示，将4个长为 a ，宽为 b 的长方形木条拼成一个正方形相框. （1）若 a ＝2， b ＝1，求正方形 ABCD 和正方形 EFGH 的面积. 解：（1）正方形 ABCD 的面积为（ a ＋ b ）2＝（1＋2）2＝32＝9， 正方形 EFGH 的面积为（ a － b ）2＝（2－1）2＝12＝1. 解：（2）方法一：正方形 ABCD 的面积为（ a ＋ b ）2， 方法二：正方形 ABCD 的面积为（ a － b ）2＋4 ab ，发现的代数结论 为（ a ＋ b ）2＝（ a － b ）2＋4 ab . （2）用两种不同的方法计算大正方形 ABCD 的面积，你发现了什么代数结论？ 思路分析：运用乘法公式解决几何图形的面积问题时应从整体和部分两个方面理 解完全平方公式的几何意义，围绕正方形的面积展开分析. 运用乘法公式解决几何图形的面积问题时应从整体和部分两个方面理 解完全平方公式的几何意义，围绕正方形的面积展开分析. $$