专题02 平面向量的数量积及其应用（3知识点+5题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题2 平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用 常考题型 求平面向量数量积的方法 平面向量数量积的性质与运算律 平面向量的数量积的概念 题型一：利用公式求向量数量积 题型二：利用向量数量积求向量模 题型三：利用向量数量积求向量夹角 题型四：利用向量数量积求向量夹角 题型五：利用向量数量积求参数 知识点一：平面向量的数量积的概念 （1）向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角． ②性质：当时，与同向；当时，与反向． （2）向量的数量积的定义 ①定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）； ②记法：向量与的数量积记作，即； ③规定：零向量与任一向量的数量积为0； （3） 平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为； 当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0. ②向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为 ③的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积. 知识点二：平面向量数量积的性质与运算律 （1）平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与（或）的夹角．则 ①； ②； ③当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； ④； ⑤ （2）平面向量数量积满足的运算律 ①； ②（λ为实数）； ③； ④两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． ⑤平面向量数量积运算的常用公式 知识点三：求平面向量数量积的方法 （1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； （2）利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解. 题型一：利用公式求向量数量积 解题思路：（1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； （2）利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解. 例1．已知向量满足，则 ． 例2．已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B．0 C． D．1 例3．在中，已知，，D，E分别是BC，AC的中点，则 ． 变式训练 4．已知向量和的夹角为，，，则等于（　　） A．15 B．12 C．6 D．3 5．在中，，则等于（    ） A． B． C．9 D．16 6．若向量，满足，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 7．在等腰直角三角形中，，则 ， ， . 题型二：利用向量数量积求向量模 解题思路：利用来求模或者或 例1．已知为平面向量，其中，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 例2．已知单位向量满足，则（    ） A．5 B． C．6 D． 例3．在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 变式训练 4．已知向量、、满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知单位向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知菱形的边长为1，若，则（    ） A． B．2 C． D． 7．已知非零向量，满足，且与的夹角为，则＝ . 题型三：利用向量数量积求向量夹角 解题思路：利用公式 例1．已知平面向量满足.若，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 例2．已知非零向量满足，且，则与夹角为（    ） A． B． C． D． 例3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 变式训练 4．已知单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．若为非零向量，满足，且，则（    ） A． B．1 C． D． 题型四：利用向量数量积求向量夹角 解题思路：①向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为； 当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0. ②向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为 例1．己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例2．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 例3．在矩形中，，，，则向量在向量方向上的投影