6.2.4 向量的数量积 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积 前备知识 功：在物理课中我们学过功的概念，那么右图中 力对小车所做的功是？ 如果一个物体在力的作用下产生位移， 那么力所做的功，其中是与的夹角. 【思考】功是什么量？力和位移呢？ 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 任务一：向量夹角的概念 【思考1-1】类比功的概念，定义两个向量的数量积，首先需要定义夹角的概念。 夹角：已知两个非零向量， ， O是平面上的任意一点，作OA= ，OB= ，则∠AOB=θ 叫做向量与的夹角， 记作:<，> 范围： [0,π] 关键点：共起点 任务一：向量夹角的概念 【思考1-2】特殊情况。 与同向 与反向 与垂直，记作 任务一：向量夹角的概念 【练习】已知等边三角形ABC,求： (1) (2) (3) 任务二：根据功总结数量积的概念 【思考2-1】类比功的求法，你能给出向量的数量积的定义吗？ 数量积：已知两个非零向与，它们的夹角为， 我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)， 记作： ，即. 规定：零向量与任意向量的数量积为0. 夹角公式： 任务二：根据功总结数量积的概念 【例1】已知，，与的夹角，求. 解： 【例2】设，， 求与的夹角. 解：由，得 因为，所以 任务二：根据功总结数量积的概念 【思考2-2】探索数量积的相关性质，设非零向量的夹角是 （1） · >0 其中 同向时， · = 特别的： （2） · <0 其中 反向时， · = （3） · =0 （4） - 求模 判断垂直 任务二：根据功总结数量积的概念 【练习】判断 （1）则。 （2），向量夹角为锐角。 （3），向量夹角为钝角。 任务三：理解投影向量的概念 【思考3-1】设，是两个非零向量，作出向量在向量上的投影向量。 方法2：作，. 过点作直线的垂线，垂足为， 则就是向量在向量上的投影向量. 投影向量：方法1：，， 过和，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为，，得到， 我们称上述变换为向量向向量投影， 叫做向量在向量上的投影向量。 任务三：理解投影向量的概念 【思考3-2】探索投影向量与数量积的关系。设与方向相同的单位向量为，与的夹角为， 在向量上的投影向量 。 ， 任务四：数乘的运算律 【思考4-1】探究证明数乘运算的运算律 交换律：(1) 数乘结合律：(2) 证明： 分配律：(3) 任务四：数乘的运算律 分配律：(3) 任务四：数乘的运算律 【练习】判断 【1】，则 【2】 任务四：数乘的运算律 【例3】我们知道，对任意，恒有.对任意向量，，是否也有下面类似的结论？ (1). 【思考4-2】对任意向量，，是否也有下面类似的结论？ (1) 多项式一样展开吗？ 任务四：数乘的运算律 【例4】已知，，与的夹角为60°，求. 解： 任务四：数乘的运算律 【例5】已知，，且与不共线.当为何值时，向量与互相垂直？ 解：与互相垂直的充要条件是 即 所以解得. 也就是说，当时，与互相垂直. 【思考4-3】当为何值时，向量与夹角为锐角？ 向量与夹角为锐角 与不共线。 任务五：数量积的应用 【例6】在直角三角形ABC中，∠C，AC＝3，取点D使2，则•_______. 解：． •（）•2•6． 任务五：数量积的应用 【例7】||＝||＝4，，60°，则||＝_____ 解：由题意可得|| 4 任务五：数量积的应用 【例8】已知向量，的夹角为60°，且，则 与的夹角等于_______. 解：由题意可得2×1× cos60°＝1， ∴||，||2 而( 24+1﹣2＝3 由此可得cosθ． 再由 0°≤θ≤180°，可得θ＝60° $$