6.2.3向量的数乘运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 任务一：探究向量的数乘运算 【思考1-1】已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ = . 方向与的方向相同， 长度是的长度的3倍，即. 方向与的方向相反， 长度是的长度的3倍，即. 任务一：探究向量的数乘运算 【思考1-2】观察关系，总结向量的数乘的定义。 向量的数乘：实数与向量的积是仍是一个向量 记作：， 长度：(1) 方向：当时，与的方向相同；当时，与的方向相反. 任务一：探究向量的数乘运算 【思考1-3】你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 特别的： ，. 【思考1-4】 = _______ 任务二：探究向量的数乘的运算律 【思考2-1】设为实数，根据实数与向量的积的定义，那么你能证明下面这些运算律吗？ 结合律： 第一分配律： 第二分配律： 任务二：探究向量的数乘的运算律 结合律： 证明：当或或时，上式显然成立. 当或或时，由向量数乘运算的定义，得： ， 所以. 当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同； 当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反. 任务二：探究向量的数乘的运算律 【思考2-2】根据运算律，写出下列结果。 (1) (2) (3) 向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算,结果仍是向量. 任务二：探究向量的数乘的运算律 【例1】计算： (1)； (2) (3) 向量的线性运算类似于代数多项式的运算 结 规 律 总 任务二：探究向量的数乘的运算律 【例2】如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和. 解： 任务三：探究共线定理 【思考3-1】如果把非零向量 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量 、 之间的关系怎样？ =3.5 // 【思考3-2】与 方向相同的单位向量如何表示？ = 【思考3-3】若=，则的位置关系是？ 与共线 任务三：探究共线定理 【思考3-4】 ，若,是否存在，使得 =？ 当与同方向时，有当与反方向时，有 向量共线定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 任务三：探究共线定理 【思考3-3】当时，定理是否成立？ ①当时，显然和共线； ②当，若，则不存在实数使成立，此时与不共线. ③当时，若，则对一切的实数，都有，与“有唯一 一个实数”矛盾. 【思考3-4】根据共线定理，如果向量与不共线，且， 那么 . 任务四：共线定理的应用 【例2】已知任意两个非零向量，试作，，猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 证明：， ， 所以.因此，，三点共线. 三点共线：有公共点的两个向量共线 结 规 律 总 任务四：共线定理的应用 【例3】已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值. 解：由题知，存在实数，使得，即. 由不共线，必有 由解得 因此，当向量，共线时，. 任务四：共线定理的应用 【思考4-1】若A，B，C三点共线，O为直线外一点 ，若 = ，证明， 证明：由得: ) 所以： = 三点共线判定定理：A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y,使= 且， 任务四：共线定理的应用 【练习1】已知点P为线段AB的中点，则= 变式：若AP=2PB呢？ O A B P 【练习2】 （1） =－2，P,A,B是否共线？ （2） =若P,A,B共线，则=______. 课堂小结 【小结】 1.数乘运算 2.数乘运算的运算量 3.共线定理 4.三点共线 $$