9.3.2 &9.3.3向量的坐标表示和运算 向量平行的坐标表示-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.3.2 &9.3.3向量的坐标表示和运算 向量平行的坐标表示 【考点梳理】 考点一：平面向量线性运算的坐标表示 考点二：利用坐标求向量的模 考点三：由向量线性运算结果求参数 考点四：平面向量线性运算解决几何问题 考点五：由向量平行（共线）求参数 考点六：由向量线性运算解决最值和范围问题 考点七：平面向量坐标的综合问题 【知识梳理】 知识一：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识二： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识三　平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 知识四　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识五　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识六：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：平面向量线性运算的坐标表示 1．（2024下·全国·高一）已知，则等于（　　） A．10 B． C．3 D． 2．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）已知，，，分别求下列各式的值： (1)；(2)；(3)． 3．（2023下·河南·高一校联考期中）已知向量，． (1)求的坐标与； (2)求向量与的夹角的余弦值． 题型二：利用坐标求向量的模 4．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知平面向量，满足，，，则（        ） A． B． C．2 D． 5．（2022下·广东广州·高一执信中学校考期中）已知向量满足，，.则（    ） A． B． C． D． 6．（2021下·重庆·高一校联考期中）已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，求 （2）若，且与垂直，求与b的夹角. 题型三：由向量线性运算结果求参数 7．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 8．（2022下·山东德州·高一校考阶段练习）已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（    ） A． B．3 C． D．4 题型四：平面向量线性运算解决几何问题 10．（2021下·广东东莞·高一东莞市光明中学校考阶段练习）已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（2023下·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）我国古代人民早在几千年