9.3.1平面向量基本定理-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.3.1平面向量基本定理 【考点梳理】 考点一：基底的概念问题 考点二：基底表示向量问题 考点三：平面向量基本定理 考点四：平面向量基本定理求参数 考点五：平面向量的坐标表示 考点六：平面向量基本定理证明共线问题 【知识梳理】 知识一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识三： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 【题型归纳】 题型一：基底的概念问题 1．（2023下·高一）下面三种说法中正确的是（    ） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可作为基中的向量. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（2023下·河南·高一校联考期中）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A．和 B．与 C．与 D．与 3．（2023下·山东·高一统考期中）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型二：基底表示向量问题 4．（2024下·全国·高一专题练习）在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·高一）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（    ）    A． B． C． D． 6．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在中，，，若，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：平面向量基本定理 7．（2024下·全国·高一专题练习）如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023下·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）在中，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023下·山东青岛·高一校考期中）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 题型四：平面向量基本定理求参数 10．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知平行四边形中，，若，则（    ） A． B． C．2 D． 11．（2023下·河北衡水·高一衡水市第二中学校考期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点O，，若，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 12．（2023下·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）在平行四边形中，是对角线上靠近点的四等分点，点在上，若，则（    ）    A． B． C． D． 题型五：平面向量的坐标表示 13．（2023下·北京顺义·高一统考期末）在平面直角坐标系中，，则向量（    ） A． B． C． D． 14．（2023下·高一课时练习）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·全国·高一专题练习）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 题型六：平面向量基本定理证明共线问题 16．（2022下·陕西西安·高一统考期中）设是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值. 17．（2023下·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．    (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 18．（2024上·辽宁·高一校联考期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点. (1)用向量与表示； (2)若，求和的值. 【双基达标】 一：单选题 19．（2024下·全国·高一专题练习）若平面向量与的夹角是180°，且，则等于（　　） A． B． C． D． 20．（2024下·全国·高一专题练习）下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无