马尔科夫链与概率不等式讲义-2024届高三数学二轮复习

马尔科夫过程与概率不等式 一.基本原理 1.马尔科夫过程 1.1转移概率:对于有限状态集合,定义:为从状态到状态的转移概率. 1.2马尔可夫链:若,即未来状态只受当前状态的影响,与之前的无关. 1.3一维随机游走模型.(公众号:凌晨讲数学) 设数轴上一个点,它的位置只能位于整点处,在时刻时,位于点,下一个时刻,它将以概率或者()向左或者向右平移一个单位.若记状态表示:在时刻该点位于位置,那么由全概率公式可得: 另一方面,由于,代入上式可得: . 进一步,我们假设在与处各有一个吸收壁,当点到达吸收壁时被吸收,不再游走.于是,.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步,若点在某个位置后有三种情况:向左平移一个单位,其概率为,原地不动,其概率为,向右平移一个单位,其概率为,那么根据全概率公式可得: 2.概率不等式 2.1马尔科夫不等式 设为一个非负随机变量,其数学期望为,则对任意,均有, 马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界,阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系. 证明:当为非负离散型随机变量时,马尔科夫不等式的证明如下: 设的分布列为其中,则对任意,,其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和. 2.2切比雪夫不等式: 设随机变量的期望为,方差为,则对任意,均有 证明:对非负离散型随机变量及正数使用马尔科夫不等式, 有. 切比雪夫不等式可以在不需要知道随机变量分布的情况下只利用随机变量的数学期望及方差就可以对的概率分布进行估计,估计出随机变量落在内的可能性不低于,从而能够得出:如果随机变量具有越小的方差,那么概率越大,这意味着在数学期望附近周边随机变量有更高的集中度;如果随机变量具有越大的方差,那么概率越小,这意味着在数学期望附近周边随机变量有更小的集中度. 二.典例分析 例1.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式,该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布末知的情况下,对事件“”的概率作出上限估计,其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为:,其中是关于和的表达式.由于记忆模糊,该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识,确定该形式是( ) A. B. C. D. 解析:切比雪夫不等式的形式为:,由题知,则的具体形式为.故选:D. 例2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质:下一状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球,现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复进行次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为,恰有1个黑球的概率为,则下列结论正确的是( ) A. B. C.数列是等比数列 D.的数学期望 解析:由题意,,故A正确; ,,故B错误;当时, ,整理得, ,故可知是以为首项,以为公比的等比数列,故C正确;,, ,因, 所以, ,故D正确, 故选:ACD. 例3.(2019全国1卷).为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,,,其中,,.假设,. (i)证明:为等比数列; (ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性. 解析:(1)由题意可知所有可能的取值为:,, ;; 则的分布列如下: (2), ,, (i) 即 整理可得: 是以为首项,为公比的等比数列 (ii)由(i)知:,,,……,,作和可得:, 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种实验方案合理. 例4.甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲