专题01三角形的证明（中等类型）-2023-2024学年八年级数学下册考点解惑《基础•中等•优质》题型过关专练（北师大版）

专题01三角形的证明 【专题过关】 类型一、等边对等角证明 【解惑】已知中，D为边上一点，． (1)试说明； (2)过点B作的平行线交的延长线于点E，若，求证：平分． 【融会贯通】 1．在中，，且平分．    (1)如图1，现有点E在线段上，连接，将沿着所在直线折叠，点C的对应点为点M．若点M恰好与点A重合，试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点P在边上，作直线，现将点C沿着折叠，对应点记作点F． ①当点F落在边上时，只使用圆规一次，在图3中画出点F的位置； ②连接，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，当点F落在内（不含的边上）时，长的取值范围为 ． 2．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 3．如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：． 4．如图，，点在上，且． 求证：． 5．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，． (1)如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系：______（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． (3)如图3，在等边三角形中，点E在线段的延长线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 类型二、三线合一证明 【解惑】如图，，，，、交于点，，平分，交于点，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【融会贯通】 1．已知A，C，B在同一条直线上，，都是等边三角形，交于点N，交于点M，，垂足为点G．求证：． 2．如图，在中，，点是上一点，于点，于点． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 3．如图，中，，点D为中点，，绕点D旋转，使与边交于E（不与A，B重合），与边交于点F．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 4．如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ． (1)求证：； (2)问： 与 的位置关系并证明． 5．如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 类型三、等角对等边证明 【解惑】如图，，点B，E，F，C在同一直线上，，求证：． 【融会贯通】 1．如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形． 2．如图所示，在中，平分，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 3．如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长为25，，，求的长． 4．如图，在中，平分交于点，过点作交的延长线于点．若是上的一点，且，求证：． 5．如图，四边形中，，点E为上一点，连接、，且、分别平分、．求证：． 类型四、尺规作等腰三角形 【解惑】如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹） 【融会贯通】 1．如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 2．（1）操作实践：中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求画出一种分割方法即可） （2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 3．如图，在方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为 (1)在图甲中画一个面积为8的等腰三角形； (2)在图乙中画一个三角形与全等，且有一条公共边． 4．如图，M为△ABC的边AC上一点，请用尺规作图，在边BC上找到一点N，使得△MNB是以BM为底边的等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）， 5．如下图，已知每个小正方形的面积都为1，给出点C，请你按要求设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC． (1)AB的长为无理数，AC，BC的长均为有理数； (2)AB的长为有理数，AC，BC的长均为无理数； (3)三边的长均为无理数． 类型五、等边三角形的判定 【解惑】如图，点D在的边上，平分，且，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明你的理由． 【融会贯通】 1．（1）如图1，将两块全等的含的直角三角板拼接成一个，则是_