6.2.4 向量的数量积运算-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

6.2.4 向量的数量积运算 高一下学期 1 1、了解平面向量夹角的概念. 2、掌握平面向量的数量积公式. 3、理解向量的投影、向量的数量积的几何意义. 4、掌握向量数量积的性质. 5、通过向量数量积的学习,培养学生的数学运算、逻辑推理等素养. 重点：平面向量夹角的概念，向量的数量积公式 难点：投影向量 学习目标 情境：在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功__________________________. 前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ (其中与的夹角) 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？ 受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 新知探究 一、向量的数量积 1、向量的夹角：已知两个非零向量，(如图)， 是平面任意一点，作，，则叫做向量与的夹角. 2、向量夹角范围： ＊当时，与同向； ＊当时，与反向. ＊当时，与垂直，记作. 的夹角 记作<，>. 3、向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 共起点 规定：零向量与任一向量的数量积为0. “”是一种运算符号，既不能省略，也不能用“×”代替. 反推成立吗？ 例题：(1)已知，，与的夹角，求. (2)设，，求与的夹角. (3)已知，求. 解：(1) (2)由，得 因为，所以 (3) 所以 求数量积 求夹角 求模长 典例精析 1、已知正的边长为1，求： (1) (2) (3) 教材P20 2、已知中，，，当或时，试判断的形状. 思考：当呢？ 此外，由还可以得到 解：(1)∵与的夹角为60°，∴ (2)∵与的夹角为120°，∴ (3)∵与的夹角为60°，∴ 情境：如图,一束平行光线照射在线段AB上,在直线l上的投影如下. 问题1:图中的线段A1B1叫作什么? 线段A1B1叫作线段AB在直线l上的投影线段. 问题2:设直线AB与直线l的夹角为θ，那么|A1B1|与|AB|，θ之间有怎样的关系? |A1B1|=|AB|cos θ 新知探究 二、投影向量 1、定义：如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的___________. 投影向量 新知生成 练习：求作在上的投影向量. 过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量向量. 思考：设与的夹角为，如何用已知条件表示？ 我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论. 显然，与共线，于是. 下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式. 当为锐角时，与方向相同，， 所以. 新知探究 当为直角时，，所以； 当为钝角时，与方向相反， 所以，所以. 新知探究 当时，所以. 当时，所以. 从上面的讨论可知，对于任意的，都有. 设与方向相同的单位向量为，则. 所以上的投影向量为 上的投影向量的模长为 叫做上的投影的数量. 有正有负有0 新知探究 二、投影向量 1、定义：如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的___________. 投影向量 2、上的投影向量为 上的投影向量为____________________________. 其中是与方向相同的单位向量， 是与方向相同的单位向量. 新知生成 例2.在等腰三角形中，，，为的中点. (1)求在上的投影向量；(2)求在上的投影向量的长度. 解：如图，连接因为为等腰三角形，且为的中点，所以 又，，所以 由图可知与的夹角为的补角， 所以与的夹角为150°. (1)在上的投影向量为 (2)在上的投影向量的长度为 典例精析 教材P20 3、已知，为单位向量，当与的夹角分别等于，，，求向量在向量上的投影向量. 21、已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为( ). 教材P24 练习：在平行四边形中，，垂足为点，且， 则 18 (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(不包括边界)的一点，则的取值范围是(　　) A．(－2,6)　　B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) A 习题演练 辨析： (1)两个向量的数量积是一