精品解析：北京市八一学校2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题

北京市八一学校2023—2024学年度第二学期开学考 高三数学试卷 2024.02 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值与最小正周期分别是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知实数，，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知A，B分别为x轴，y轴上动点，若以AB为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（ ） A B. C. D. 8. 设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名得分依次为a，b，c（，且a，b，）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ） A. 每场比赛的第一名得分a为4 B. 甲至少有一场比赛获得第二名 C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名 D. 丙至少有一场比赛获得第三名 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若二项式展开式中的系数为10，则__________. 12. 关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围__________. 13. 如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______． 14. 已知函数定义域为，设若，且对任意，则实数的取值范围为__________. 15. 画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.给出下列四个结论： ①的蒙日圆的方程为； ②在直线上存在点，椭圆上存在，使得； ③记点到直线的距离为，则的最小值为； ④若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为. 其中所有正确结论序号为__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）的值； （2）和面积的值． 条件①: ；条件②:. 17. 如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，. （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：. （1）从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望； （3）根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 19. 已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形. （1）求椭圆的方程； （2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 20. 已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：对任意成立. 21. 已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”. （Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由； （Ⅱ）设集合，. （ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”； （ⅱ）记和分别表示集合