2.3 用公式法求解一元二次方程 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 学习目标 知识点 用公式法解一元二次方程 知1－讲 1 1. 求根公式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是x= ，这个式子称为一元二次方程的求根公式 . 感悟新知 知1－讲 2. 公式法 (1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. (2)用求根公式解一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定a，b，c 的值； ③求出b2－4ac 的值； ④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解，若b2－4ac ＜ 0，则方程无实数解. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2.只有当方程ax2+bx+c=0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式. 感悟新知 知1－练 例 1 用公式法解下列方程. (1)2x2－7x+4=0； (2)3x2－2 x=－1； (3)x2－2x+3=0； 解题秘方：按照用求根公式解一元二次方程的步骤求解. 感悟新知 知1－练 解：(1)a=2，b=－7，c=4， b2－4ac = (－7)2－4×2×4=17>0. 方程有两个不等的实数根x = ， 即x1=，x2= . 求b2－4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号. 感悟新知 知1－练 (2)方程可化为3x2－2 x+1=0. a=3，b=－2 ，c=1，b2－4ac=(－2 )2－4×3×1=0. 方程有两个相等的实数根x1=x2=－ = . (3)a=1，b=－2，c=3， b2－4ac=(－2)2－4×1×3=－8<0. 所以方程无实数根. 感悟新知 知1－练 1-1. [模拟· 禹会]方程2x2－6x+3=0 较小的根为p， 方程 2x2－2x－1=0 较大的根为q，则p+q 等于( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 2 B 感悟新知 知1－练 1-2. 用公式法解下列方程 ： (1)y2－2y－2=0； 感悟新知 知1－练 (2)3x2－2x=4； 感悟新知 知1－练 (3)x2+6=2(x+1)； 解：原方程可化为x2－2x＋4＝0. a＝1，b＝－2，c＝4， b2－4ac＝－12<0， 方程无实数根． 感悟新知 知1－练 (4)5 x2－2 x+1=0. 感悟新知 知2－讲 知识点 一元二次方程根的判别式 2 1. 定义 一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的情况可由b2－4ac 来判定. 我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac. 感悟新知 知2－讲 特别提醒 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 感悟新知 知2－讲 2. 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)， (1)Δ>0 ⇔方程有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 ⇔方程有两个相等的实数根. (3)Δ<0 ⇔方程没有实数根. 感悟新知 知2－练 对于任意实数k，关于x 的方程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 无法判断 例2 解题秘方：由根的判别式的正负性及是否为0判断根的情况. 感悟新知 知2－练 解：∵ a=1，b=－2(k+1)，c=－k2+2k－1， ∴Δ =b2－4ac=［－2(k+1)］2－4×1×(－k2+2k－1)=8+8k2>0. ∴方程有两个不等的实数根. 当方程中的a，b，c含有字母时，求出Δ=b2－4ac后，再对含字母的代数式进行分析，从而确定根的情况. 答案：C 感悟新知 知2－练 2-1. [中考·河南]一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 感悟新知 知2－练 2-2. [中考· 通辽]关于x 的一元二次方程x2 －(k－3)x－k+1=0的根的情况，下列说法正确的是(　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 A 感悟新知 知2－练 将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝 的长度为周长做成正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这根