1.3 正方形的性质与判定 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 知识点 正方形的定义 知1－讲 1 1. 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 特别提醒 1.正方形在平行四边形的基础上还必须具备两个条件: (1) 一组邻边相等.(2) 一个角是直角. 2.正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形. 感悟新知 知1－讲 2. 四边形定义间的关系 感悟新知 知1－练 例 1 如图1-3-1，△ ABD 和△ BCD 都是等腰直角三角形， ∠ A= ∠ C=90°．求证：四边形 ABCD 是正方形 . 感悟新知 知1－练 解题秘方：紧扣定义中“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形”进行判断 . 感悟新知 知1－练 证明： ∵△ ABD 和△ BCD 都是等腰直角三角形， ∠ A=∠ C=90°， ∴∠ ADB= ∠ CBD=45°，∠ ABD= ∠ CDB=45°， AB=AD. ∴ AD ∥ BC， AB ∥ CD. ∴四边形 ABCD 为平行四边形 . 又∵∠ A=90°， AB =AD，∴四边形 ABCD 是正方形 . 感悟新知 知1－练 1-1. 如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°，DE 垂直平分AC，DF ⊥ BC.当△ ABC 满足条件____________________时，四边形DECF 是正方形.(要求：①不再添加任何辅助线；②只需填一个符合要求的条件) AC＝BC(答案不唯一) 感悟新知 知2－讲 知识点 正方形的性质 2 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即： (1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； (2)角：四个角都是直角； (3)对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； (4)对称性：是轴对称图形，有4 条对称轴； (5)面积：边长的平方或对角线长平方的一半. 感悟新知 知2－讲 特别提醒 ●正方形的特殊性质： 1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形. 2.周长相等的四边形中，正方形的面积最大. 感悟新知 知2－练 如图1-3-2，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF. 例2 解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息解决问题. 感悟新知 知2－练 (1)求证：△ BCE ≌△ DCF； 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴ BC=DC，∠ BCE= ∠ DCF=90° . 又∵ CE=CF，∴△ BCE ≌△ DCF. 感悟新知 知2－练 (2)若∠ BEC=60°，求∠ EFD 的度数. 解：∵△ BCE ≌△ DCF，∠ BEC=60°， ∴∠ DFC= ∠ BEC=60° . ∵ CE=CF，∠ ECF=90°，∴∠ CFE=45° . ∴∠ EFD=∠ DFC－ ∠ CFE=60°－45°=15°. 感悟新知 知2－练 2-1. 如图， 四边形ABCD 是正方形， 点E在BC 的延长线上. 如果BE=BD， 且AB=2 cm，求∠ E 的度数和BE 的长. 感悟新知 知2－练 感悟新知 知3－讲 知识点 正方形的判定 3 (1)从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； 感悟新知 (3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形. 知3－讲 感悟新知 知3－讲 方法点拨 判定正方形的常见思路： 1. 从边上证明. 矩形 正方形； 2. 从角上证明.菱形 正方形； 3. 从对角线上证明. (1)矩形 正方形； (2)菱形 正方形； (3)平行四边形 正方形； 邻边相等 有一个角是直角 对角线互相垂直 对角线相等 对角线相等且互相垂直 感悟新知 知3－练 [ 中考·邵阳 ] 如图 1-3-3，在菱形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，点 E， F 在对角线 BD 上，且 BE = DF，OE = OA. 求证：四边形 AECF 是正方形 . 例 3 感悟新知 知3－练 解题秘方：“先确定待证四边形是一种特殊的