专题9.6 向量的应用（六个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题9.6向量的应用 知识点1向量方法在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 知识点2向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. （4）功是力与位移的数量积. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 重难点1几何应用——证明线段垂直 【例1】利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角． 【例2】如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【变式1-1】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【变式1-2】用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 重难点2几何应用——求几何夹角问题 【例3】已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 【例4】如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    【变式2-1】在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 . 【变式2-2】如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【变式2-3】已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4). 若P是线段BC上的动点，且为锐角，求P的横坐标的取值范围. 重难点3几何应用——求线段长度 【例5】正方形的面积为16，，点在线段上．若，则 ． 【例6】在直角中，，点P为平面内一动点，且满足，则的最大值为 . 【变式3-1】在中，内角的对边分别为，，，且满足，若为边上中线，，，则 . 【变式3-2】已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 【变式3-3】如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 重难点4几何应用——判断三角形形状 【例7】若非零向量与满足，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例8】在中，若，则的形状是（    ） A．为钝角的三角形 B．为直角的直角三角形 C．锐角三角形 D．为直角的直角三角形 【变式4-1】在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角直角三角形 D．等腰三角形 【变式4-2】P是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式4-3】若M为所在平面内一点，且满足则的形状为 . 重难点5物理应用——力与做功 【例9】如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（    ）    A． B． C． D． 【例10】冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所