精品解析：东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 2024年高三第一次联合模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在.本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数是，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. 已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 55 B. C. 30 D. 6. 已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 10. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. C. 当点的纵坐标为4时，存在点，使得 D. 若是等边三角形，则点的横坐标是3 11. 在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆，一个酒鬼家住在，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（ ） A. 若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为 B. 若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为 C. 若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口概率为 D. 若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，则外接圆半径为______. 13. 如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为______. 14. 已知圆：，直线交圆于、两点，点，则三角形面积的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求在处的切线方程； （2）求单调递减区间. 16. 如图，在四棱台中，底而为平行四边形，侧棱平面，，，. （1）证明：； （2）若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 17. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示. （1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由） （2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？ （3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为，求的分布列. 18. 已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. （1）求双曲线方程； （2）证明：为直角三角形； （3）若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 19. 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制