专题9.5 向量的坐标表示及运算（八个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题9.5向量的坐标表示及运算 知识点1平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 知识点2平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 知识点3平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 知识点4平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 知识点5平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 重难点1用坐标表示向量 【例1】如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】的三个顶点，，，则顶点的坐标为 . 【变式1-1】已知，，平面向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知A(2，0)，，若，其中O为原点，则x＝ ，y＝ . （1）求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标； （2）求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. 重难点2平面向量线性运算的坐标表示 【例3】已知向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 【例4】向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】已知，，求： (1)； (2)； (3). 【变式2-2】已知点、，，若，试求为何值时， (1)点在第一、三象限的角平分线上； (2)点在第三象限内． 【变式2-3】已知点，，，设，，，且，， (1)求； (2)求满足的实数的值． （1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 重难点3线段的定比分点 【例5】已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【例6】已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在平面直角坐标系内，已知为中点，则中线上靠近D的三等分点的坐标是 ． 【变式3-3】已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 已知，线段上有一点使得，则 重难点4向量共线的坐标表示 【例7】（多选）下列向量组中，能作为平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【例8】已知，，三点共线，则 . 【变式4-1】若三点不能构成三角形，则 . 【变式4-2】已知向量，若与共线，求m的值，并判断与是同向还是反向？ 【变式4-3】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 利用向量共线的坐标表达式直接求解. 重难点5数量积的坐标表示 【例9】已知，则等于（　　） A．10 B． C．3 D． 【例10】已知向量，若与垂直，则等于（　　） A．1 B． C．2 D．4 【变式5-1】已知，，，若，则x等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式5-2】已知向量，，若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式5-3】已知，向量，则的最大值为 . 进行向量的数量积运算的两条途径:（1）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;（2）先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 重难点6向量模的坐标运算 【例11】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例12】已知向量，，