用导数研究距离问题专练-2024届高三数学二轮复习

距离问题 题型一：曲线与直线的距离 【例1】已知函数，其中，若存在，使得成立，则实数的值为_________. 【变式训练】 1．已知函数，若存在，使得，则实数的值是　　． 2．实数满足：，则的最小值为________ 3．已知函数，其中，存在，使得成立，则实数=_______. 4．设，当，变化时，则的最小值______． 题型二：曲线与点的距离 【例2】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为 A． B． C． D． 【变式训练】 1．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 A． B． C． D． 2．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为(    ) A． B． C． D． 3．已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 题型三：曲线与圆的距离 【例3】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为 A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为(    ) A． B．1 C． D． 题型四：曲线与抛物线的距离 【例4】设，当a，b变化时，的最小值为_______. 【变式训练】 1．设,其中，则的最小值为 A． B． C． D． 题型五：曲线与曲线的距离 【例5】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 A． B． C． D． 【变式训练】 1．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________． 2．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_____. 3．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________. 4．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为(   ) A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______． 题型六：横向距离 【例6】已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为(    ) A．2 B． C． D． 【变式训练】 1．已知直线分别与直线和曲线相交于点，，则线段长度的最小值为(       ) A． B． C． D． 2．已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为 A． B． C． D． 3．已知函数，的图像分别与直线交于，两点，则的最小值为(    ) A．1 B． C． D． 4．函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为(    ) A． B． C． D．2 题型七：纵向距离 【例7】直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为 A． B．2 C． D． 【变式训练】 1．(多选题)若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有(    ) A．存在，使 B．当时，取得最小值 C．没有最小值 D． 【巩固练习】 1．设.，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 2．分别是函数和图象上的点，若与x轴平行，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 3．已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为(    ) A． B．1 C． D．2 4．已知函数，，若成立，则的最小值是 A． B． C． D． 5．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 6．若对于任意的实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是 　　 A． B． C． D． 7．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为　　 A． B． C． D． 8．直线分别与直线，曲线交于、两点，则的最小值为__________． 9．已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为_______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 距离问题 题型一：曲线与直线的距离 【例1】已知函数，其中，若存在，使得成立，则实数的值为_________. 【答案】10 【解析】设， 则可看做图象上任意一点与图象上点的距离的平方， 设函数过点的切线平行于直线． 则，令，解得，∴切点． 点P到直线的距离，此时， ∴存在，使， 过点P且与直线垂直的直线方程为：. 联立 ，解得． 即，时，存在使得为成立，此时. 故答案为：10 【变式训练】 1．已知函数，若存在，使得，则实数的值是　　． 【解答】解：， 函数可看作动点与动点之间距离的平方，