6.2.4 向量的数量积（教学设计）--【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.2.4 向量的数量积 教学设计 1、 课时教学内容 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性质。 向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。 2、 课时教学目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的判断和运算． 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯． 3、 教学重点、难点 1． 重点： (1) 平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角． (2) 掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2． 难点： (1) 平面向量数量积定义的理解，平面向量数量积的性质． (2) 理解平面向量数量积的运算律. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移（图6.2-18），那么力所做的功 ， 其中是与的夹角． 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念． 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念． 已知两个非零向量，（图6.2-19），是平面上的任意一点，作，． 则叫做向量与的夹角． 显然，当时，与同向；当时，与反向． 如果与的夹角是，我们说与垂直，记作 ． 环节二 观察分析，感知概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积（inner product）），记作，即． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关． 例9 已知，，与的夹角，求． 解：． 例10 设，，，求与的夹角． 解：由，得．因为，所以． 如图6.2-20(1)，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影(project)，叫做向量在向量上的投影向量． 如图6.2-20(2)，我们可以在平面内任取一点，作，．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 环节三 抽象概括，形成概念 ◆探究 如图6.2-20(2)，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？ 显然，与共线，于是． 下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式．我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论． 当为锐角(图6.2-21(1))时，与方向相同，，所以 ； 当为直角(图6.2-21(2))时，，所以 ； 当θ为钝角(图6.2-21(3))时，与方向相反，所以 即． 当时，，所以 当时，，所以． 从上面的讨论可知，对于任意的，都有． 环节四 辨析理解，深化概念 ◆探究 从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ 由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质． 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1)． (2)． 如果是否有，或? (3)当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． 常记作． 此外，由还可以得到 (4)． 练习（第20页） 1．已知，，和的夹角是，求． 1．解析：． 2．已知中，，，当或时，试判断△ABC的形状． 2．解析：． 所以当时，，为钝角，为钝角三角形； 当时，，为直角，为直角三角形． 3．已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于，，时，求向量在向量上的投影向量． 3．解析 ：当时，向量在向量上的投影向量为； 当时，向量在向量上的投影向量为； 当时，向量在向量上的投影向量为． 与向量的线性运算一样，定义了向量的数量