6.2.4向量的数量积（第一课时）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 （第一课时） 一 二 三 学习目标 掌握向量的数量积运算 理解数量积的几何意义与投影向量 掌握数量积的性质与运算律，并加以运用 学习目标 复习回顾 我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 加法运算； 减法运算； 数乘运算； 运算的结果都依然是向量。 向量的线性运算 那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么定义呢？ 物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？ 新知探究 问题1.1 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 问题1.2 功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ θ s F F 标量，大小由力、位移两个向量及它们的夹角确定。 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 先定义向量夹角的概念 向量的夹角 已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作 则∠AOB＝θ ( ) 叫做向量 的夹角． O A B θ 记作: < > 0≤θ≤π 显然，当θ=0时， 同向. 当 时， 垂直，记作 . 当θ=π时， 反向. 注意：计算向量的夹角时，要将两个向量起点放在一起. 概念生成 50° A B C 45° 85° 在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夹角： (1) 45° 130° 85° 45° 130° 85° (2) (3) 追问 两个向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？ 向量 与 之间的夹角θ的取值范围是[0, π], 两直线夹角的范围 . 跟踪练习 新知探究 问题2 如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ ？ = 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是什么呢？ 力与位移的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是功； 向量的数量积 已知两个非零向量 ，它们的夹角为θ，把数量 做向量 的数量积(或内积)，记作 ，即 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. O A B θ 概念生成 ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. 注意: ②数量积a·b的结果为实数，不是向量. （数量积运算是非线性运算） 问题3 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 数量积的正负是由什么决定的？ 新知探究 两个非零向量的数量积，符号由夹角θ决定： ①当时， ， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ④当时， ， ； ⑤当时， ， 例1 例2 典例解析 巩固练习 课本P20 新知探究 问题4 在计算所做的功的过程中，我们会先求力在物体运动方向上的分力，你能将其表示出来吗？ 那么，在向量中我们也有类似的概念。 新知探究 设 是两个非零向量， ，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称这种变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量． 我们可以在平面内任取一点O，作 .过点M作直线ON 的垂线，垂足为 ，则 就是向量 在向量 上的投影向量 投影向量 新知探究 问题5 N M O M1 图(1) 图(2) 图(3) 新知探究 图(4) 图(5) 巩固练习 课本P4 典例解析 例3 例4 典例解析 新知探究 问题6 从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ 从，，这三个量进行思考与描述！ 概念生成 数量积的性质 当同向时， ; 当反向时， ; 特别地， 或 (由推得) = a a常记为a θ=90º θ=0º θ=180º 可用于求向量的模. 实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.向量的夹角； 2.数量积的定义； 3.投影向量的定义； 4.数量积的性质。 $$