6.2.4 向量的数量积-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

6.2.4 向量的数量积课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量 2.会求平面向量的数量积、投影向量 3.熟记平面向量数量积的性质 4.能运用数量积的性质解决问题 5.通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的思维习惯 6.掌握数量积的运算律 7.利用数量积的运算律进行化简、求值 1.数学抽象：数量积的定义、数量积的运算律 2.逻辑推理：数量积的性质、证明数量积的运算律 3.数学运算：求平面向量的数量积、运用数量积的运算律求值 4.直观想象：投影向量 概念梳理 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作向量＝，＝，则∠AOB＝ (0≤≤π)叫做向量与的夹角。 (2)显然，当＝0时，与同向；当＝π时，与反向。 如果与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥。 2．向量的数量积及其几何意义 (1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||| |cos叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·b＝||| |cos。 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 (2)投影 如图，设，是两个非零向量，＝，＝，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量。 3．向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1) ·＝·＝||cos。 (2) ⊥b⇔·＝0。 (3)当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||，特别地，·＝||2或||＝。 (4)| ·|≤||||。 4．平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确。 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 ＝ ·＝· 正确 结合律 ()c＝ (c) (·)＝ (·) 错误 分配律 (＋)c＝c＋c (＋)·＝·＋· 正确 消去律 ＝c(b≠0)⇒ ＝c ·＝· (≠0)⇒ ＝ 错误 5.平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质。 多项式乘法 向量数量积 (＋)2＝2＋2＋2 (＋)2＝2＋2·＋2 (－)2＝2－2＋2 (－)2＝2－2·＋2 (＋)( －)＝2－2 (＋)·(－)＝2－2 (＋＋c)2＝2＋2＋c2＋2＋2c＋2c (＋＋)2＝2＋2＋ 2＋2·＋2·＋2 · 【概念辨析】 (1) 向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量, 而两向量的数量积, 其结果是数量, 可以为正, 可以为负, 也可以为零, 但不是向量. (2) 两向量的数量积的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积, 其符号由夹角的余弦值的符号决定. (3) 向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算, 不同于实数的乘法, 在书写上只能写为 , 而不能省略“。”或使用“ . (4)在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是 . (5)因为 表示与共线的向量, 而 表示与共线的向量, 但与不一定共线, 所以不一定成立. (6)在向量数量积的运算中, . 正确结论为: 或 . 回归教材 1. 已知 和 的夹角是 , 求 . 【解析】. 2. 已知 中, , 当 或 时, 试判断 的形状. 【解析】. 当 时, 为钝角, 为钝角三角形; 当 时, 为直角, 为直角三角形. 3. 已知 为单位向量, 当向量 的夹角分别等于 时, 求向量在向量上的投影向量. 【解析】当时, 向量在向量上的投影向量为 ; 当时, 向量在向量上的投影向量为; 当时, 向量在向量上的投影向量 为 . 4. 已知 , 向量与的夹角为, 向量与的夹角为, 计算: (1) ; (2) . 【解析】设向量与的夹角为, 向量与的夹角为. (2) , . 5. 已知 , 且 与 互相垂直, 求证 . 【证明】与垂直, 即 . 6. 求证: . 【证明】证法一: 题型讲解 探究（一）求向量的模 【典例1】①已知||＝4，||＝3，(2 －3 )·(2 ＋)＝61. 求| ＋ |； 【解析】(1)因为(2 －3 )·(2 ＋)＝61，所以4| |2－4 ·－3| |2＝61. 因为| |＝4，| |＝3，所以·＝－6， 所以| ＋ |＝. ②已知向量与夹角为45°，且||＝1，|2＋|＝，求||. 【解析】因为|2＋|＝，所以(2＋)2＝10，所以42＋4·＋2＝10. 又因为向量与的夹角为45°且||＝1，所以4×12＋4×1×||×＋| |2＝10， 整理得||2＋2||－6＝0，解得||＝或||