第六章 平行四边形-【新课程能力培养】2023-2024学年八年级下册数学同步练习（北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 荀ABCD 中， 点 E ， F 分别在 AD ， CB 的延长线 上， 且 DE=BF， 连接 EF 分别交 AB， CD 于点 H， G． 求证： △EAH≌△FCG． 【分析】 利用平行四边形的性质得出 AD=CB ， 进而得到 AE=CF ， 进而利用全等三角形的判定证出结论 . 【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=CB ， AD∥CB ， ∠A=∠C. ∴∠E=∠F. ∵DE=BF ， ∴AD+DE=CB+BF ， 即 AE=CF. ∴△EAH≌△FCG （ ASA ） ． C E B F H A D G 例题图 平 行 四 边 形 定义： 两组对边分别平行的四边形 基本元素 边、 角、 对角线 中心对称， 两条对角线的交点是它的对称中心 对边平行 对边相等 性质 对角相等， 对角线互相平分 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形 判定 对角线互相平分的四边形 定义 （内角、 外角） 内角和定理： n边形的内角和等于 （n-2）·180° 多边形 外角和定理： 多边形的外角和都等于 360° 三角形的中位线 定理： 三角形的中位线平行于第三边， 且等于第三边的一半 定义： 连接三角形两边中点的线段 知识网络 第六章 平行四边形 1 平行四边形的性质 （第 1课时） 126 平行四边形 第六章 【点拨】 此题主要考查了平行四边形性质的应用以及全等三角形的判定， 得出 AE=CF 是 解题关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 若 荀ABCD 的一个内角是 38° ， 则 荀ABCD 其他内角的度数分别为 . 2. 在探索数学名题 “尺规三等分角” 的过程中， 有下面的问题： 如图， AC 是 荀ABCD 的对角线， 点 E 在 AC 上， AD=AE=BE ， ∠D=102° ， 则 ∠BAC 的大小是 . 3. 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=6 ， ∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E ， 若 CE=2 ， 则 荀ABCD 的周长为 . 4. 如图， 荀ABCD 的顶点 C 在等边三角形 BEF 的边 BF 上， 点 E 在 AB 的延长线上， G 为 DE 的中点， 连接 CG． 若 AD=3 ， AB=CF=2 ， 则 CG 的长为 . 5. 在 荀ABCD 中， 若 ∠A+∠C=200° ， 则 ∠B 的度数是 （ ） A. 100° B. 160° C. 80° D. 60° 6. 如图， 在 荀ABCD 中， AD=2AB ， ∠B=60° ， CE 平分 ∠BCD 交 AD 边于点 E ， 且 AE= 3 ， 则 EC 的长为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 2 7. 如图， 在 荀ABCD 中， ∠A=∠ADB=45° ， AD=6. 试求 ∠ABC 和 ∠C 的度数以及 CD ， BD 的长 . 8. 如图， 在 荀ABCD 中， 点 E 在 BA 的延长线上， 且 BE=AD ， 点 F 在 AD 上， AF=AB. 求证： △AEF≌△DFC. 第 2 题图 第 4 题图 第 6 题图 A B D C 第 7 题图 第 8 题图 A B D F E C A B D E C A B G D C F E A B D C E 127 八年级下册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 9. 如图， 在 荀ABCD 中， ∠ABC=3∠A ， 点 E 在 CD 上， CE=1 ， EF⊥CD 交 CB 的延长线 于点 F ， 若 AD=1 ， 求 BF 的长 . 10. 如图， 在 荀ABCD 中， 分别以边 BC ， CD 作等腰三角形 BCF ， 等腰三角形 CDE ， 使 BC=BF ， CD=DE ， ∠CBF=∠CDE ， 连接 AF ， AE． （ 1 ） 求证： △ABF≌△EDA ； （ 2 ） 延长 AB 与 CF 相交于点 G． 若 AF⊥AE ， 求证： BF⊥BC． * 11． 问题： 如图， 在 荀ABCD 中， AB＝8 ， AD＝5 ， ∠DAB ， ∠ABC 的平分线 AE ， BF 分别 与直线 CD 交于点 E ， F ， 求 EF 的长 . 答案： EF＝2. 探究： （ 1 ） 把 “问题” 中的条件 “ AB＝8 ” 去掉， 其余条件不变 . ① 当点 E 与点 F 重合时， 求 AB 的长； ② 当点 E 与点 C 重合时， 求 EF 的长 . （ 2 ） 把 “问题” 中的条件 “ AB＝8 ， AD＝5 ” 去掉， 其余条件不变， 当点 C ， D ， E ， F 相 邻两点间的距离相等时， 求 AD AB 的值 . A D F E C B 第 9 题图 A D E C G F B 第 10 题图 A B CD F E 第 11 题图 128 平行四边形 第六章 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·兰州 ） 如图 ， 在 荀ABCD 中 ， BD=CD ， AE⊥BD 于点 E ， 若 ∠C=70° ， 则 ∠BAE= . 13. （ 2023 ·凉山） 如图， 荀ABCO 的顶点 O ， A ， C 的坐标分别是 （ 0 ， 0 ）， （ 3 ， 0 ）， （ 1 ， 2 ）， 则顶点 B 的坐标是 . 14. （ 2023 ·聊城） 如图， 在 荀ABCD 中， BC 的垂直平分线 EO 交 AD 于点 E ， 交 BC 于点 O ， 连接 BE ， CE ， 过点 C 作 CF∥BE ， 交 EO 的延长线于点 F ， 连接 BF． 若 AD=8 ， CE=5 ， 则四边形 BFCE 的面积为 . 15. （ 2022 ·大庆） 如图， 将平行四边形 ABCD 沿对角线 BD 折叠， 使点 A 落在点 E 处 . 若 ∠1=56° ， ∠2=42° ， 则 ∠A 的度数为 （ ） A. 108° B. 109° C. 110° D. 111° 16. （ 2023 ·通辽） 如图， 用平移方法说明平行四边形的面积公式 S=ah 时， 若 △ABE 平移到 △DCF ， a=4 ， h=3 ， 则 △ABE 的平移距离为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 12 17. （ 2022 ·广西） 如图， 在 荀ABCD 中， BD 是它的一条对角线 . （ 1 ） 求证： △ABD≌△CDB ； （ 2 ） 尺规作图： 作 BD 的垂直平分线 EF ， 分别交 AD ， BC 于点 E ， F ； （不写作法， 保 留作图痕迹） （ 3 ） 连接 BE ， 若 ∠DBE=25° ， 求 ∠AEB 的度数 . 第 15 题图 A D CB 第 17 题图 AB C D E 1 2 A D B C E x y O A （ 3 ， 0 ） C （ 1 ， 2 ） B F O A D E B C A D E FB C hh a 第 14 题图第 13 题图第 12 题图 第 16 题图 129 八年级下册 （北师大版）数学 18. （ 2023 ·长沙） 如图， 在 荀ABCD 中， DF 平分 ∠ADC ， 交 BC 于点 E ， 交 AB 的延长线 于点 F． （ 1 ） 求证： AD＝AF ； （ 2 ） 若 AD＝6 ， AB＝3 ， ∠A＝120° ， 求 BF 的长和 △ADF 的面积 ． 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 荀ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， AB=10 cm ， AD=8 cm ， AC⊥BC，求 OB 的长. 【分析】 由平行四边形的性质得出 BC=AD=8 cm ， OA=OC= 1 2 AC ， 进而由勾股定理分别求出 AC 和 OB 的长 . 【解答】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=8 cm ， OA=OC= 1 2 AC. ∵AC⊥BC ， ∴∠ACB=90°. 在 Rt△ABC 中， 由勾股定理， 得 AC= AB 2 -BC 2 姨 = 10 2 -8 2 姨 =6. ∴OC=3. 在 Rt△BOC 中， 由勾股定理， 得 OB= BC 2 +OC 2 姨 = 8 2 +3 2 姨 = 73 姨 . 【点拨】 本题考查了平行四边形的性质、 勾股定理 . 熟练掌握平行四边形的性质并能进行 推理计算是解决问题的关键 ． 第 18 题图 1 平行四边形的性质 （第 2课时） A B C D O 例题图 A D B E C F 130 平行四边形 第六章 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 荀ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 将 △AOD 平移至 △BEC 的位置， 则图中与 OA 相等的线段有 条 . 2. 如图， 在 荀ABCD 中， AC ， BD 为对角线， BC=6 ， BC 边上的高为 4 ， 则阴影部分的面 积为 . 3. 在 荀ABCD 中， 对角线 AC ， BD 交于点 O ， 若 BD 与 AC 的和为 18 ， DA ∶ CD=3 ∶ 2 ， △AOB 的周长为 13 ， 那么 BC 的长为 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 如图， 在 荀ABCD 中， 对角线 AC ， BD 交于点 O ， GF 经过点 O ， 且与边 AB ， CD 分别 交于点 G ， F ， 则图中全等三角形共有 （ ） A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 5. 若一个平行四边形的对角线长分别为 x ， y ， 一条边长为 12 ， 则 x 与 y 的值可能是下 面各组数中的 （ ） A. 8 和 12 B. 10 和 14 C. 16 和 20 D. 10 和 36 6. 如图， 已知 荀ABCD 的周长为 20 cm ， 且 AB≠AD ， AC ， BD 相交于点 O ， OE⊥BD 交 AD 于点 E ， 试求 △ABE 的周长 . O A B D E C A B D C G A B D F C O 第 1 题图 第 2 题图 第 4 题图 第 6 题图 O A B D E C 131 八年级下册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 7. 如图 ， 在 荀ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 分别过点 A ， C 作 AE⊥BD ， CF⊥BD ， 垂足分别为 E ， F． AC 平分 ∠DAE． （ 1 ） 若 ∠AOE＝50° ， 求 ∠ACB 的度数； （ 2 ） 求证： AE＝CF． 8. 如图， 在 荀ABCD 中， 点 O 是对角线 AC 的中点， 点 E 是 BC 上一点， 且 AB=AE ， 连 接 EO 并延长交 AD 于点 F． 过点 B 作 AE 的垂线， 垂足为 H ， 交 AC 于点 G． （ 1 ） 若 AH=3 ， HE=1 ， 求 △ABE 的面积； （ 2 ） 若 ∠ACB=45° ， 求证： DF= 2 姨 CG． 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·福建） 如图， 在 荀ABCD 中， O 为 BD 的中点， EF 过点 O 且分别交 AB ， CD 于 点 E ， F． 若 AE=10 ， 则 CF 的长为 . 10. （ 2023 ·成都） 如图， 在 荀ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， 则下列结论一定 正确的是 （ ） A． AC=BD B． OA=OC C． AC⊥BD D． ∠ADC=∠BCD 第 7 题图 O E F A D B C H B E C G O FA D 第 8 题图 第 9 题图 O A E B D F C O A D B C 第 10 题图 132 平行四边形 第六章 第 11 题图 O A B F E D C 11. （ 2023 ·济南） 如图， 点 O 为 荀ABCD 对角线 AC 的中点， 过点 O 的直线与 AD ， BC 分别相交于点 E ， F． 求证： DE=BF． 自主导学 典例精析 例题 如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， E ， F 是对角线 BD 上的点， ∠AEF=∠CFE． 求证： （ 1 ） BE=DF ； （ 2 ） AF∥CE． 【分析】 （ 1 ） 利用平行四边形的性质得出 ∠BDC=∠ABD ， 由 ∠AEF=∠CFE 得 ∠AEB= ∠CFD ， 进而利用全等三角形的判定得出即可； （ 2 ） 利用 ∠AEF=∠CFE 和 （ 1 ） 的结论易证 四边形 AECF 是平行四边形， 进而证得 AF∥CE. 【证明】 （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AB∥CD ， ∴∠BDC=∠ABD. ∵∠AEF=∠CFE ， ∴∠AEB=∠CFD. 在 △ABE 和 △CDF 中， ∠AEB=∠CFD ， ∠ABE=∠CDF ， AB=CD D ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ( ， ∴△ABE≌△CDF （ AAS ） . ∴BE=DF. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 △ABE≌△CDF ， ∴AE=CF. ∵∠AEF=∠CFE ， ∴AE∥CF ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形， ∴AF∥CE． 【点拨】 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质， 得出 △ABE≌△CDF 是解题关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 下列给出的条件中， 能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是 （ ） A. AB∥CD ， AD=BC B. ∠B=∠C ， ∠A=∠D C. AB=AD ， CB=CD D. AB=CD ， AD=BC 2 平行四边形的判定 （第 1课时） A B C D E F 例题图 133 八年级下册 （北师大版）数学 2. 下列条件中， 不能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 两组邻边分别相等 D. 两组对边分别相等 3. 如图， 在 荀ABCD 中， AM= 2 3 AB ， CN= 2 3 CD. 求证： 四边形 AMCN 是平行四边形 . 4. 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， AD∥BC ， 过点 A 作 AE∥DC 交 BC 于点 E ， BD 平分 ∠ABC. 求证： AB=EC. 5. 如图， 在 荀ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， DC 的中点， AG=CH. 求证： 四边形 EHFG 是 平行四边形 . 能力提升 综合拓展 6. 如图， M ， N 分别为 荀ABCD 中一组对边 AD ， BC 的中点， BM 与 AN 交于点 G ， CM 与 DN 交于点 H. 求证： 四边形 MGNH 是平行四边形 . M N A B D C 第 3 题图 A B D E C 第 4 题图 H G A B D F E C 第 5 题图 M N H G A B D C 第 6 题图 134 平行四边形 第六章 7. 如图， D ， E ， F 分别为 △ABC 各边上的点， 且 DE∥AF ， DE=AF ， 延长 FD 至点 G ， 使 DG=DF. 求证： ED 与 AG 互相平分 . 8. 如图， △ABD ， △EBC ， △ACF 都是等边三角形 . 求证： DE∥AF. * 9. 如图， 在 荀ABCD 中， ∠DAB=60° ， 点 E ， F 分别在 CD ， AB 的延长线上， 且 AE= AD ， CF=CB. （ 1 ） 求证： 四边形 AFCE 是平行四边形 . （ 2 ） 若去掉已知条件 ∠DAB=60° ， 其他条件不变， （ 1 ） 中的结论还成立吗？ 请说明理由 . * 10. 如图， 以 BC 为底边的等腰三角形 ABC ， 点 D ， E ， G 分别在 BC ， AB ， AC 上， 且 EG∥BC ， DE∥AC ， 延长 GE 至点 F ， 使得 BE=BF． （ 1 ） 求证： 四边形 BDEF 为平行四边形； （ 2 ） 当 ∠C=45° ， BD=2 时， 求 D ， F 两点间的距离 ． O G A B D F E C 第 7 题图 第 8 题图 A B D F E C O A B D F E C 第 9 题图 第 10 题图 G F D C A B E 135 八年级下册 （北师大版）数学 中考链接 真题演练 11. （ 2023 ·宁夏） 如图， EF∥AC ， B ， D 分别是 AC 和 EF 上的点， ∠EDC=∠CBE． 求 证： 四边形 BCDE 是平行四边形 ． 12. （ 2023 ·广安） 如图， 在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， BE⊥AC ， DF⊥AC ， 垂足分别为点 E ， F ， 且 AF=CE ， ∠BAC=∠DCA． 求证： 四边形 ABCD 是平行四边形 ． 自主导学 典例精析 例题 如图， 荀ABCD 的对角线相交于点 O ， 直线 EF 经过点 O ， 分别与 AB ， CD 的延 长线交于点 E ， F． 求证： 四边形 AECF 是平行四边形 ． 【分析】 平行四边形的判定方法有多种， 选择哪一种方 法应分析题目中给的是哪一方面的条件， 本题所给的条件为 四边形 ABCD 是平行四边形， 可证 OF=OE ， OA=OC ， 根据条 件在图形中的位置， 可选择利用 “对角线相互平分的四边形 为平行四边形” 来解决 ． 第 11 题图 第 12 题图 2 平行四边形的判定 （第 2课时） A B CD E F O 例题图 A B C E D F A D B C F E O 136 平行四边形 第六章 【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OD=OB ， OA=OC ， AB∥CD. ∴∠DFO=∠BEO ， ∠FDO=∠EBO. 在 △FDO 和 △EBO 中， ∠DFO=∠BEO ， ∠FDO=∠EBO ， OD=OB B & & & & & % & & & & & ' ， ∴△FDO≌△EBO （ AAS ）， ∴OF=OE ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 ． 【点拨】 平行四边形的判定方法有多种， 应用时要认真领会它们之间的联系与区别， 同 时要根据条件合理、 灵活地选择判定方法 ． 基础巩固 达标闯关 1． 在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， 要使四边形 ABCD 是平行四边形， 则还需满足的条件 是 （不添加任何辅助线） . 2. 能够判断一个四边形是平行四边形的条件是 （ ） A. 一组对角线相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 一对邻角的和为 180° 3. 如图， AB ， CD 相交于点 O ， AC∥DB ， AO=BO ， E ， F 分别为 OC ， OD 的中点， 连接 AE ， AF ， BE ， BF. 求证： 四边形 AEBF 是平行四边形 . 能力提升 综合拓展 4. 如图， 在 荀ABCD 中， AE⊥BD 于点 E ， CF⊥BD 于点 F ， M ， N 分别是 AD ， BC 的中 点 . 求证： 四边形 ENFM 是平行四边形 . O A B D F E C 第 3 题图 M N A B D F E C 第 4 题图 137 八年级下册 （北师大版）数学 5. 如图， 荀ABCD 的两条对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E ， G 分别是 OA ， OC 的中点， 过点 O 任作一条直线交 AD 于点 H ， 交 BC 于点 F. 猜想 EF 与 HG 的关系， 并证明你的猜想 . * 6. 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， ∠CAB=30° ， 以线段 AB 为边向外作等边三角形 ABD ， 点 E 是线段 AB 的中点， 连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F． （ 1 ） 求证： 四边形 BCFD 为平行四边形； （ 2 ） 若 AB=6 ， 求四边形 BCFD 的面积 ． 中考链接 真题演练 7. （ 2023 ·杭州） 如图， 荀ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 点 E ， F 在对角线 BD 上， 且 BE=EF=FD ， 连接 AE ， EC ， CF ， FA． （ 1 ） 求证： 四边形 AECF 是平行四边形 ． （ 2 ） 若 △ABE 的面积等于 2 ， 求 △CFO 的面积 ． 8. （ 2021 ·聊城） 如图， 在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， 且 AO＝CO ， 点 E 在 BD 上， 满足 ∠EAO＝∠DCO． （ 1 ） 求证： 四边形 AECD 是平行四边形； （ 2 ） 若 AB＝BC ， CD＝5 ， AC＝8 ， 求四边形 AECD 的面积 ． O H G A B D F E C 第 5 题图 第 6 题图 F A B C D E 第 7 题图 第 8 题图 O D A B C E E F A D B C O 138 平行四边形 第六章 自主导学 典例精析 例题 如图， 直线 AE∥BD ， 点 C 在 BD 上， 若 AE=4，BD=8，△ABD 的面积为 16， 求 △ACE 的面积 ． 【分析】 根据两平行线间的距离相等， 可知两个三角形的高相等， 所以根据 △ABD 的面积可求出高， 然后求 △ACE 的面积即可 ． 【解答】 在 △ABD 中， 当 BD 为底时， 设高为 h ， 在 △AEC 中， 当 AE 为底时， 设高为 h′ ， ∵AE∥BD ， ∴h=h′. ∵△ABD 的面积为 16 ， BD=8 ， ∴h=4 ， ∴△ACE 的面积 = 1 2 ×4×4=8． 【点拨】 主要是根据两平行线间的距离相等求出高再求三角形的面积 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在四边形 ABCD 中， AB∥DC ， E 是 AD 中点， EF⊥BC 于点 F ， BC=5 ， EF=3． （ 1 ） 若 AB=DC ， 则四边形 ABCD 的面积 S= ； （ 2 ） 若 AB＞DC ， 则此时四边形 ABCD 的面积 S′ （填 “ ＞ ” “ = ” 或 “ ＜ ”） S. 2. 如图， 在四边形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， 连接 DE 并延长， 交 AB 的延长线于点 F ， CD∥AF ， 请你添加一个条件： ， 使四边形 ABCD 是平行四 边形 ． 3. 在四边形 ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 给出下列四个条件： ①AD∥BC ； ②AD=BC ； ③OA=OC ； ④OB=OD. 从中任选两个条件， 能使四边形 ABCD 为平行四边形的选 法有 （ ） A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种 A B C D E 例题图 2 平行四边形的判定 （第 3课时） Ａ Ｂ Ｅ Ｆ Ｄ Ｃ 第 1 题图 A B D F E C 第 2 题图 139 八年级下册 （北师大版）数学 能力提升 综合拓展 4. 在 △ABC 中， AB=AC ， 点 P 为 △ABC 所在平面内一点， 过点 P 分别作 PE∥AC 交 AB 于点 E ， PF∥AB 交 BC 于点 D ， 交 AC 于点 F． 若点 P 在 BC 边上 （如图 1 ）， 此时 PD=0 ， 可 得结论： PD+PE+PF=AB. 请直接应用上述信息解决下列问题： 当点 P 分别在 △ABC 内 （如图 2 ）、 △ABC 外 （如图 3 ） 时， 上述结论是否成立？ 若成 立， 请给予证明； 若不成立， PD ， PE ， PF 与 AB 之间又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜 想， 不需要证明 ． 中考链接 真题演练 5. （ 2020 ·铜仁） 设 AB ， CD ， EF 是同一平面内三条互相平行的直线， 已知 AB 与 CD 的 距离是 12 cm ， EF 与 CD 的距离是 5 cm ， 则 AB 与 EF 的距离等于 cm． 6． （ 2023 ·扬州） 如图， E ， F ， G ， H 分别是平行四边形 ABCD 各边的中点， 连接 AF ， CE 相交于点 M ， 连接 AG ， CH 相交于点 N． （ 1 ） 求证： 四边形 AMCN 是平行四边形； （ 2 ） 若 荀AMCN 的面积为 4 ， 求 荀ABCD 的面积 ． 第 4 题图 A B F E C P D （ ） A B F E C P D A B F E C P D 图 1 图 2 图 3 第 6 题图 M A H D G E B F C N 140 平行四边形 第六章 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， AB=4，AC=3，AD， AE 分别是其角 平分线和中线， 过点 C 作 CG⊥AD 于点 F ， 交 AB 于点 G ， 连接 EF ， 求线段 EF 的长 . 【分析】 由已知可证得 △AGF 与 △ACF 全等， 进而得出 AG=AC ， GF=CF ， 所以 F 为 GC 的中点， 再由已知条件可得 EF 为 △CBG 的中 位线， 利用中位线的性质即可求出线段 EF 的长 ． 【解答】 ∵AD 是 △ABC 的角平分线， ∴∠GAF=∠CAF. ∵CG⊥AD ， ∴∠AFG=∠AFC=90°. 又 ∵AF=AF ， ∴△AGF≌△ACF ， ∴AG=AC=3 ， GF=CF. ∵AB=4 ， AC=3 ， ∴BG=1. ∵AE 是中线， ∴BE=CE ， ∴EF 为 △CBG 的中位线， ∴EF= 1 2 BG= 1 2 ． 【点拨】 本题考查了三角形全等的判定和性质、 三角形的中位线性质定理 ． 解题的关键是 证出 EF 是 △CBG 的中位线 . 类似于本例这类已知一边上的中点问题， 常用的解题策略是取 另一边的中点， 并连接两中点， 从而运用中位线定理证有关线段的倍分问题、 直线平行问题 以及角相等的问题 . 我们要明确三角形的中位线是解有关中点问题常用的辅助线 . 基础巩固 达标闯关 1． 如图， 在 荀ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， 点 E 是 AB 的中点， OE=3 cm ， 则 AD 的 长是 cm． 2. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC=6 ， BC=8 ， AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D ， 点 E 为 AB 的 中点， 连接 DE ， 则 △BDE 的周长是 . 3. 如图， 在四边形 ABCD 中， P 是对角线 BD 的中点， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点， AD=BC ， ∠PEF=18° ， 则 ∠PFE 的度数是 . 4. 如图， 吴伯伯家有一块等边三角形的空地 ABC ， 已知点 E ， F 分别是边 AB ， AC 的中 点， 量得 EF＝5 m ， 他想把四边形 BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡， 则需用篱笆的长是 （ ） A. 30 m B. 25 m C. 20 m D. 15 m 3 三角形的中位线 例题图 G A B ED C F A B F E C 第 4 题图 O A B D E C P A B D F E C 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 A B D E C 141 八年级下册 （北师大版）数学 5. 如图， 在 △ABC 中， BD ， CE 是 △ABC 的中线， BD 与 CE 相交于点 O ， 点 F ， G 分别是 BO ， CO 的中点， 连接 AO. 若 AO=6 cm ， BC=8 cm ， 则 四边形 DGFE 的周长是 （ ） A. 14 cm B. 18 cm C. 24 cm D. 28 cm 6. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， 点 D ， E 分别为 AC ， AB 的中点， 点 F 在 BC 的 延长线上， 且 ∠CDF=∠A. 求证： 四边形 DECF 为平行四边形 ． 7. 如图， 在 荀ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AO ， DC ， OC 的中点 . 求证： ∠FEH=∠FGH. 能力提升 综合拓展 8. 如图， 在 △ABC 中， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点， G ， H 把 AC 三等分， EG ， FH 的延 长线交于点 D ， 连接 AD ， CD ， BG ， BH. 求证： 四边形 BHDG 和 ABCD 都是平行四边形 . 9. 如图， 已知 △ABC ， AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D ， BC 的中点为 M ， ME∥AD ， 交 BA 的延长线于点 E ， 交 AC 于点 F． 求证： （ 1 ） AE=AF ； （ 2 ） BE= 1 2 （ AB+AC ） ． O G A B D F E C 第 5 题图 A B D F E C 第 6 题图 第 7 题图 O H G A B D F E C 第 9 题图 F M D C A B E H G A B D F E C 第 8 题图 142 平行四边形 第六章 10. 如图 1 ， BD ， CE 分别是 △ABC 的外角平分线， 过点 A 作 AF⊥BD ， AG⊥CE ， 垂足 分别为 F ， G ， 连接 FG ， 延长 AF ， AG 与直线 BC 相交， 可得结论： FG= 1 2 （ AB+BC+AC ） . （ 1 ） 如图 2 ， BD ， CE 分别是 △ABC 的内角平分线， 猜想 FG 与 △ABC 的三边又有怎样 的数量关系， 证明你的结论； （ 2 ） 如图 3 ， BD 为 △ABC 的内角平分线， CE 为 △ABC 的外角平分线， 继续猜想 FG 与 △ABC 的三边又有怎样的数量关系， 证明你的结论 . 中考链接 真题演练 11． （ 2023 ·金华） 如图， 把两根钢条 OA ， OB 的一个端点连在一起， 点 C ， D 分别是 OA ， OB 的中点， 若 CD=4 cm ， 则该工件内槽宽 AB 的长 为 cm． 12. （ 2023 ·陕西） 如图， DE 是 △ABC 的中位线， 点 F 在 DB 上， DF= 2BF． 连接 EF 并延长， 与 CB 的延长线相交于点 M． 若 BC=6 ， 则线段 CM 的长为 （ ） A. 13 2 B. 7 C. 15 2 D. 8 13. （ 2023 ·潍坊） 如图， 在 △ABC 中， CD 平分 ∠ACB ， AE⊥CD ， 垂足为点 E ， 过点 E 作 EF∥BC ， 交 AC 于点 F ， G 为 BC 的中点， 连接 FG． 求证： FG＝ 1 2 AB． 第 10 题图 G A B D F E C G A B D F E C G A B D F E C 图 1 图 2 图 3 第 11 题图 第 12 题图 A D E F M B C E D A F GB C A B D C O 第 13 题图 143 八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后， 得到一 个内角和为 2340° 的新多边形， 求原多边形的边数 . 【分析】 根据多边形内角和公式， 可得新多边形的边数， 根据新多边形 比原多边形多 1 条边可得答案 ． 【解答】 设新多边形是 n 边形， 由多边形内角和公式得 （ n-2 ）· 180°=2340°. 解得 n=15. 原 多边形是 15-1=14. 【点拨】 本题考查了多边形内角和公式， 应用多边形的内角和公式列出方程是解题关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 一个多边形的内角和等于 900° ， 这个多边形的边数是 . 2. 一个正多边形的每个内角都等于 150° ， 则从此多边形的一个顶点出发的对角线 共有 条 . 3. 下列正多边形中， 中心角 （正多边形中心点与相邻两个顶点连线所成的角） 等于内角 的是 （ ） A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正四边形 D. 正三边形 4. 如图， 已知 O 是四边形 ABCD 内一点， OA=OB=OC ， ∠ABC=∠ADC= 70° ， 则 ∠DAO+∠DCO 的大小是 （ ） A. 70° B. 110° C. 140° D. 150° 5. 如图为矩形 ABCD ， 一条直线将该矩形分割成两个多边形， 若这两个 多边形的内角和分别为 a 和 b ， 则 a+b 不可能是 （ ） A． 360° B． 540° C． 630° D． 720° 6. 在四边形 ABCD 中， ∠D=60° ， ∠B 比 ∠A 大 20° ， ∠C 是 ∠A 的 2 倍， 求 ∠A ， ∠B ， ∠C 的大小 ． 例题图 4 多边形的内角和与外角和 （第 1课时） O A B D C 第 4 题图 A B D C 第 5 题图 144 平行四边形 第六章 能力提升 综合拓展 7. 如图， 在五边形 ABCDE 中， AE∥CD ， ∠A=112° ， ∠B=105° ， 求 ∠C 的度数 . 8. 一个凸多边形， 除了一个内角外其余的内角和为 1350° ， 则这个内角的度数是多少？ 请说明理由 . * 9. 一个多边形截去一个内角后， 形成新的多边形的内角和为 1800° ， 求原来的多边形的 边数 . 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·益阳） 如图， 正六边形 ABCDEF 中， ∠FAB= . 11． （ 2023 ·重庆） 若七边形的内角中有一个角为 100° ， 则其余六个内角之和为 ． 12． （ 2023 ·长春） 如图， 将正五边形纸片 ABCDE 折叠， 使点 B 与点 E 重合， 折痕为 AM ， 展开后， 再将纸片折叠， 使边 AB 落在线段 AM 上， 点 B 的对应点为点 B′ ， 折痕为 AF ， 则 ∠AFB′ 的大小为 . 13． （ 2021 ·丽水） 过多边形一个顶点剪去一个角后， 所得多边形的内角和为 720° ， 则原 多边形的边数是 . 14. （ 2022 ·南充） 如图， 在正五边形 ABCDE 中， 以 AB 为边向内作正 △ABF ， 则下列结 论错误的是 （ ） A. AE=AF B. ∠EAF=∠CBF C. ∠F=∠EAF D. ∠C=∠E A B D E C 第 7 题图 第 10 题图 A B CE F D 第 12 题图 第 14 题图 A D F E B C A B E F B′ C DM 145 八年级下册 （北师大版）数学 15． （ 2021 ·株洲） 如图， 在正六边形 ABCDEF 内， 以 AB 为边作正五边形 ABGHI ， 则 ∠FAI= （ ） A． 10° B． 12° C． 14° D． 15° 16. （ 2022 ·甘肃） 大自然中有许多小动物都是 “小数学家”， 如图 1 ， 蜜蜂的蜂巢结构非 常精巧、 实用而且节省材料， 多名学者通过观测研究发现： 蜂巢巢房的横截面大都是正六边 形 . 如图 2 ， 一个巢房的横截面为正六边形 ABCDEF ， 若对角线 AD 的长约为 8 mm ， 则正六 边形 ABCDEF 的边长为 （ ） A. 2 mm B. 2 2 姨 mm C. 2 3 姨 mm D. 4 mm 自主导学 典例精析 例题 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍， 这个多边形的边数为 （ ） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 【分析】 多边形的外角和是 360° ， 则内角和是 2×360=720°． 设这个多边形是 n 边形， 根 据多边形内角和定理， 得（ n-2 ）· 180°=2×360° ， 从而求出边数 n=6． 【解答】 B 【点拨】 本题考查了多边形的内角和与外角和定理， 熟记内角和公式和外角和定理并列 出方程是解题的关键 ． 求多边形的边数的问题， 一般都可以根据多边形的内角和定理列出方 程， 转化为解方程的问题来解决 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 小明在操场上从 A 点出发， 沿直线前进 10 m 后向左转 40° ， 再 沿直线前进 10 m 后， 又向左转 40° ， ……照这样走下去， 他第一次回到出发 地 A 点时， 一共走了 m． 2 . 一个多边形的内角和与外角和的比是 5 ∶ 2 ， 这个多边形边数是 . DE F BA C I G H D E F B A C 图 2 图 1 第 15 题图 第 16 题图 4 多边形的内角和与外角和 （第 2课时） 40° 40° 40° A 第 1 题图 146 平行四边形 第六章 3. 如图， ∠1 ， ∠2 ， ∠3 ， ∠4 是五边形 ABCDE 的外角， 且 ∠1=∠2= ∠3=∠4=70° ， 则 ∠AED 的度数是 . 4. 一个正多边形的内角和与外角和的差为 1980° ， 求这个正多边形的每 个内角的度数 . 能力提升 综合拓展 5. 如图， 以四边形 ABCD 各顶点及各边延长线上的点构成 △AEF ， △BGH ， △CMN ， △DPQ. 求 ∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q 的度数 . 中考链接 真题演练 6. （ 2023 ·扬州） 如果一个多边形每一个外角都是 60° ， 那么这个多边形的边数为 . 7. （ 2022 ·眉山） 一个多边形外角和是内角和的 2 9 ， 则这个多边形的边数为 . 8. （ 2022 ·株洲） 如图所示， 已知 ∠MON=60° ， 正五边形 ABCDE 的顶点 A ， B 在射线 OM 上， 顶点 E 在射线 ON 上， 则 ∠AEO= 度 . 1 2 3 4 A B D E C 第 3 题图 M NP Q G A B D F E C H 第 5 题图 第 8 题图 BA E O M D C N 147 八年级下册 （北师大版）数学 9. （ 2023 ·北京） 正十二边形的外角和为 （ ） A. 30° B. １５0° C. ３６0° D. １800° 10. （ 2020 ·宜昌） 游戏中有数学智慧， 找起点游戏规定： 从起点走五段相 等直路之后回到起点， 要求每走完一段直路后向右边偏行， 成功的招数不止一 招， 可助我们成功的一招是 （ ） A． 每走完一段直路后沿向右偏 72° 方向行走 B． 每段直路要短 C． 每走完一段直路后沿向右偏 108° 方向行走 D． 每段直路要长 11. （ 2020 ·扬州） 如图， 小明从点 A 出发沿直线前进 10 m 到达点 B ， 向左转 45° 后又沿直线前进 10 m 到达点 C ， 再向左转 45° 后沿直线前进 10 m 到达点 D ， ……照这样走下去， 小明第一次回到出发点 A 时所走的路程为 （ ） A． 100 m B． 80 m C． 60 m D． 40 m 12. （ 2022 ·河北） 如图， 将三角形纸片剪掉一角得四边 形， 设 △ABC 与四边形 BCDE 的外角和的度数分别为 α ， β ， 则正确的是 （ ） A. α-β=0 B. α-β＜0 C. α-β＞0 D. 无法比较 α 与 β 的大小 第 10 题图 A B C D 45° 45° 45° 第 11 题图 A B C B C D E 第 12 题图 148 八年级下册 （北师大版）数学 4 分式方程 （第 3 课时） 1. 4 x-1 + x x+6 =1 2. D 3. 解： 设第一天捐款 x 人， 则第二天捐款 （ x+50 ） 人， 由题意列方程 4800 x = 6000 x+50 . 解得 x=200. 检验： 当 x=200 时， x （ x+50 ） ≠0 ， ∴x=200 是所列方程的解 . 两天捐款人数为 x+ （ x+50 ） =450 （人）， 人均捐款 4800 x =24 （元） . 答： 两天共参加 捐款的有 450 人， 人均捐款 24 元 . 4. 解： 设甲工程队每天修 x m ， 根据题意得 900 x ＝ 600 x-50 . 解得 x=150. 经检验， x=150 是原方程的根 . ∴x-50=100 （ m ） . 答： 甲、 乙两个工程队每天分别修 150 m ， 100 m. 5. 解： 设该厂原计划每天加工这种口罩 x 个， 则实际每天加工 （ 1+50% ） x 个 . 根据题意， 得 24 000 x = 24 000 （ 1+50% ） x + 5. 解得 x=1600. 经检验 x=1600 是所列方程的根 . （ 1+50% ） ×1600=2400 （个） . 答： 该厂实际每天加工这种口罩 2400 个 . 6. 解： （ 1 ） 设商场第一次购进 x 套运动服， 由题意得 68 000 2x - 32 000 x =10. 解这个方程， 得 x=200. 经检验 x=200 是所 列方程的根 . 2x+x=600 （套） . 答： 购进这种运动服 600 套 . （ 2 ） 设每套运动服的售价为 y 元， 由题意得 600y-32 000-68 000 32 000+68 000 ×100%≥20%. 解这个不等式， 得 y≥200. 答： 每套售价至少是 200 元 . * 7. 解： （ 1 ） 由图象可得， 甲车的速度为 280-120 2 =80 （ km/h ）， 即甲车的速度是 80 km/h. （ 2 ） 相遇时间为 280 80+60 =2 （ h ）， 由题意可得， 60×2 80 + 38 60 = 80×2 a . 解得 a=75. 经检验， a=75 是原分式方程的解， 即 a 的值是 75． 8. 解： （ 1 ） 设乙每天加工 x 个零件， 则甲每天加工 1.5x 个零件， 由题意， 得 600 x ＝ 600 1.5x +5. 解得 x＝40. ∴1.5x＝60. 经 检验， x＝40 是分式方程的解且符合实际意义 ． 答： 甲每天加工 60 个零件， 乙每天加工 40 个零件 ． （ 2 ） 设甲加工了 a 天， 乙加工了 3000-60a 40 天， 则由题意得 150a+ 120 （ 3000-60a ） 40 ≤7800. 解得 a≥40. 当 a＝40 时， 3000-60a 40 ＝15 ， 符合问题 的实际意义 ． 答： 甲至少加工了 40 天 ． 9. 解： 设乙每小时加工 x 个这种零件， 则甲每小时加工 （ x+2 ） 个这种零件， 根据题意， 得 25 x+2 = 20 x . 解得 x＝8. 经检 验， x＝8 是所列方程的解， 且符合题意 ． 答： 乙每小时加工 8 个这种零件 ． 10. 解： 设 B 品牌篮球单价为 x 元， 则 A 品牌篮球单价为 （ 2x－48 ） 元， 根据题意， 得 9600 2x-48 = 7200 x ． 解得 x=72． 经 检验， x=72 是所列方程的根 ． 2×72－48=96 （元） ． 答： A 品牌篮球单价为 96 元， B 品牌篮球单价为 72 元 ． 11. 解： （ 1 ） 设 A 型玩具的进价为 x 元 / 个， 则 B 型玩具的进价是 1.5x 元 / 个 ． 由题意， 得 1200 x - 1500 1.5x =20. 解得 x＝ 10. 经检验， x＝10 是原方程的解 . ∴B 型玩具的进价为 10×1.5＝15 （元 / 个） . 答： A 型玩具的进价是 10 元 / 个， B 型玩具的 进价是 15 元 / 个 ． （ 2 ） 设购进 A 型玩具 m 个， 则购进 B 型玩具 （ 75-m ） 个 ． 根据题意， 得 （ 12-10 ） m+ （ 20-15 ）（ 75-m ） ≥300. 解得 m≤25. 答： 最多可购进 A 型玩具 25 个 ． 12. 解： （ 1 ） 设 《周髀算经》 的单价是 x 元， 则 《孙子算经》 的单价是 3 4 x 元 ． 根据题意， 得 600 3 4 x - 600 x =5. 解得 x＝ 40. 经检验， x＝40 是所列方程的解， 且符合题意 . ∴ 3 4 x＝ 3 4 ×40＝30． 答： 《孙子算经》 的单价是 30 元， 《周髀算经》 的 单价是 40 元 ． （ 2 ） 设购买 《孙子算经》 m 本， 则购买 《周髀算经》 （ 80-m ） 本 ． 根据题意， 得 80-m≥ １ ２ m． 解得 m≤ 160 3 ＝53 1 3 ． 设购买这两种图书共花费 w 元， 则 w＝30×0.8m+40×0.8 （ 80-m ） ＝-8m+2560． ∵k=-8＜0 ， ∴w 随 m 的增大而减小 . 又 ∵m≤ 160 3 =53 1 3 ， 且 m 为正整数， ∴ 当 m＝53 时， w 取得最小值， 此时 80-m＝80-53＝27． 答： 当购买 《孙子算经》 53 本、 《周髀算经》 27 本时， 总费用最少 ． 第六章 平行四边形 1 平行四边形的性质 （第 1 课时） 1. 142° ， 38° ， 142° 2. 26° 3. 20 或 28 4. 3 2 5. C 6. B 7. ∠ABC=135° ， ∠C=45° ， CD=BD=3 2 姨 . 8. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥CD ， AB=CD. ∴∠D=∠EAF. 又 ∵AF=AB ， ∴AF=CD. ∵BE=AD ， BE=AB+AE ， AD=AF+DF ， ∴AE=DF. ∴△AEF≌△DFC （ SAS ） . 9. 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=1 ， AD∥BC. ∴∠A+∠ABC=180° ， ∠ABF= ∠A. 又 ∵∠ABC=3∠A ， ∴∠ABF=∠A=∠C=45°. ∵EF⊥CD ， ∴EF=EC=1. 在 Rt△EFC 中， 由勾股 定理， 得 FC= 2 姨 ， ∴BF= 2 姨 －1. 10. 证明： （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AD=BC ， ∠ABC=∠ADC. ∵BC= BF ， CD=DE ， ∴BF=AD ， AB=DE. ∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360° ， ∠ABF+∠ABC+∠CBF=360° ， ∠EDC=∠CBF ， ∴∠ADE=∠ABF. ∴△ABF≌△EDA． （ 2 ） 延长 FB 交 AD 于点 H．∵AE⊥AF ， ∴ ∠EAF=90°. ∵△ABF≌△EDA ， ∴∠EAD=∠AFB. ∵∠EAD+∠FAH=90° ， ∴∠FAH+∠AFB=90°. ∴ ∠AHF=90° ， 即 FB⊥AD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴BF⊥BC. * 11. 解： （ 1 ） ① 如图 1 所示 ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴CD＝AB ， BC＝AD＝5 ， AB∥CD. ∴∠DEA＝ A B C D E G F H 第 10 题答图 190 参 考 答 案 ∠BAE. ∵AE 平分 ∠DAB ， ∴∠DAE＝∠BAE. ∴∠DEA＝∠DAE. ∴DE＝AD＝5. 同理可得 BC＝CF＝5. ∵ 点 E 与点 F 重合， ∴AB＝CD＝DE+CF＝10. ② 如图 2 所示， ∵ 点 E 与点 C 重合， ∴DE＝DC＝5. ∵CF＝BC＝5 ， DC＝BC ， ∴ 点 F 与点 D 重 合. ∴EF＝DC＝5. （ 2 ） 分三种情况： ① 当点 E ， F 分别在 DC 上， 且点 F 在点 E 的右边时， 与 （ 1 ） 方法相同， 可证 AD＝DE. ∵ 点 C ， D ， E ， F 相邻两点间的距离相等， ∴AD＝DE＝EF＝CF. ∴ AD AB ＝ 1 3 . ② 当点 E ， F 分别在 DC 上， 且点 E 在点 F 的右边时， 与 （ 1 ） 方法相同， 可证 AD＝DE＝CF. ∵DF＝FE＝CE= 1 2 AD ， ∴ AD AB ＝ 2 3 . ③ 当点 E ， F 分别在 DC ， CD 的延长线上时， ∵AD＝DE＝CF ， DF＝DC＝CE ， ∴ AD AB ＝2. 综上所述， AD AB 的值为 1 3 或 2 3 或 2． 12. 50° 13. （ 4 ， 2 ） 14. 24 15. C 16. B 17. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AD= BC. ∵BD=BD ， ∴△ABD≌△CDB （ SSS ） . （ 2 ） 如图所示 . （ 3 ） 解 ： ∵EF 垂直平分 BD ， ∠DBE=25° ， ∴EB=ED. ∴∠DBE=∠BDE= 25°. ∵∠AEB 是 △BED 的外角， ∴∠AEB=∠DBE+∠BDE=25°+25°= 50°． 18. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥CD. ∴ ∠CDE ＝∠F. ∵DF 平 分 ∠ADC ， ∴∠ADE ＝∠CDE. ∴∠F ＝∠ADF. ∴AD＝AF. （ 2 ） 解： 如图， 过点 D 作 DH⊥AF 交 FA 的延长线于点 H ， ∵AD＝AF＝6 ， AB＝3 ， ∴BF＝AF-AB＝3. ∵∠BAD＝120° ， ∴∠DAH＝ 60°. ∴∠ADH＝30°. ∴AH＝ 1 2 AD=3. ∴DH= AD 2 -AH 2 姨 ＝3 3 姨 . ∴△ADF 的面积 ＝ 1 2 AF · DH= 1 2 ×6×3 3 姨 =9 3 姨 . 1 平行四边形的性质 （第 2 课时） 1. 2 2. 12 3. B 4. D 5. C 6. 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴OB=OD ， AB=CD ， AD=BC. ∴AB+AD=10 cm. 又 ∵OE⊥BD ， ∴BE=ED. ∴△ABE 的周长 =AB+BE+AE=AB+ED+AE=AB+AD=10 cm. 7. （ 1 ） 解： ∵AE⊥BD ， ∴∠AEO＝90°.∵∠AOE＝50° ， ∴∠EAO＝40°. ∵CA 平分 ∠DAE ， ∴∠DAC＝∠EAO＝40°. ∵ 四边 形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD∥BC ， ∠ACB＝∠DAC＝40° . （ 2 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴OA＝OC. ∵AE⊥BD ， CF⊥BD ， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°. ∵∠AOE＝∠COF ， ∴△AEO≌△CFO （ AAS ） . ∴AE＝CF． 8. （ 1 ） 解： ∵AH=3 ， HE=1 ， ∴AB=AE=4. 又 ∵ 在 Rt△ABH 中， BH= AB 2 -AH 2 姨 = 7 姨 ， ∴S △ABE = 1 2 AE · BH= 1 2 ×4× 7 姨 =2 7 姨 . （ 2 ） 证明： 如图， 过点 A 作 AM⊥BC 于点 M ， 交 BG 于点 K ， 过点 G 作 GN⊥BC 于点 N ， 则 ∠AMB=∠AME=∠BNG=90°. ∵∠ACB=45° ， ∴∠MAC=∠NGC= 45° . ∵AB=AE ， ∴BM=EM= 1 2 BE ， ∠BAM=∠EAM. 又 ∵AE⊥BG ， ∴∠AHK=90°=∠BMK. 而 ∠AKH=∠BKM ， ∴∠MAE=∠NBG. 设 ∠BAM=∠MAE=∠NBG=α ， 则 ∠BAG=∠45°+α ， ∠BGA= ∠GCN+∠GBC=45°+α ， ∴AB=BG. ∴AE=BG. ∴△AME≌△BNG （ AAS ） . ∴ME=NG . 在等腰 Rt△CNG 中， ∵NG=NC ， ∴GC= 2 姨 NG= 2 姨 ME= 2 姨 2 BE. ∴BE= 2 姨 GC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 AC 的中 点， ∴OA=OC ， AD∥BC ， AD=BC. ∴∠OAF=∠OCE ， ∠AFO=∠CEO. ∴△AFO≌△CEO （ AAS ） . ∴AF=CE. ∴AD-AF=BC- EC ， 即 DF=BE. ∴DF=BE= 2 姨 CG. 9. 10 10. B 11. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AO=CO ， AD=BC ， AD∥BC. ∴∠EAO=∠FCO ， ∠OEA=∠OFC. ∴ △AOE≌△COF （ AAS ） . ∴AE=CF. ∴AD-AE=BC-CF. ∴DE=BF． 2 平行四边形的判定 （第 1 课时） 1. D 2. C 3. 证明： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB=DC ， AB∥DC. ∵AM= 2 3 AB ， CN= 2 3 CD ， ∴AM=CN. 又 ∵AB∥DC ， 即 AM∥CN ， ∴ 四边形 AMCN 是平行四边形 . 4. 证明： ∵AD∥BC ， ∴∠DBC=∠ADB. ∵∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB. ∴AB=AD. ∵AD∥BC ， AE∥DC ， ∴ 四边 形 AECD 是平行四边形 . ∴AD=EC. ∴AB=EC. 5. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AB∥CD ， 即 AE∥CF. ∵E ， F 分别是 AB ， DC 的中点， ∴AE= 1 2 AB ， CF= 1 2 CD. ∴AE=CF. ∴ 四边形 AECF 为平行四边形 . ∴AF=EC ， 且 AF∥EC ， 即 GF∥EH. 又 ∵AG=CH ， ∴AF-AG=EC-CH ， D A B C （ E ） （ F ） D A B C E （F ） 第 11 题答图 图 2 图 1 第 8 题答图 D O G H E FA B CM N K 第 17 题答图 A B C D E F 第 18 题答图 A B C D E F H 191 八年级下册 （北师大版）数学 即 GF=EH. ∴ 四边形 EHFG 是平行四边形 . 6. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC ， AD=BC. ∵M ， N 为 AD ， BC 的中点， ∴AM= 1 2 AD ， CN= 1 2 BC ， ∴AM=CN. ∴ 四边形 AMCN 是平行四边形 . ∴AN∥MC ， 即 GN∥MH. 同理 BM∥ND ， 即 MG∥HN ， ∴ 四边形 MGNH 是平 行四边形 . 7. 证明： ∵DE∥AF ， DE=AF ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . ∴FD=AE ， AE∥GF. ∴∠EAG=∠G. ∵FD=DG ， ∴AE= DG. 又 ∵∠AOE=∠GOD ， ∴△AOE≌△GOD. ∴AO=GO ， EO=DO. ∴ED 与 AG 互相平分 . 8. 证明 ： ∵△ABD ， △BCE 是等边三角形 ， ∴AB=BD ， BC=BE ， ∠DBA=∠EBC=60° . ∴∠DBE=∠ABC. ∴△ABC≌ △DBE. ∴AC=DE. ∵AF=AC ， ∴AF=DE. 同理 AD=EF ， ∴ 四边形 ADEF 是平行四边形 . ∴DE∥AF. * 9. 证明 ： （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∠DAB=60° ， ∴AD=BC ， AB=DC ， AB∥DC ， AD∥BC ， ∠DCB= ∠DAB=60° ， ∴∠DAB=∠EDA ， ∠DCB=∠CBF. ∴∠EDA=∠CBF=60°. 又 ∵AE=AD ， CF=CB ， ∴△ADE 和 △BCF 是等边三 角形 . ∴AD=ED=AE=BC=BF=CF. ∴ED+DC=BF+AB ， 即 EC=AF. 又 ∵AE=CF ， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形 . （ 2 ） 结论 仍然成立 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ， AB=DC ， AB∥DC ， AD∥BC. ∴∠DCB=∠CBF ， ∠DCB=∠EDA. ∴ ∠EDA=∠CBF. 又 ∵AE=AD ， CF=CB ， ∴∠EDA=∠DEA ， ∠CBF=∠CFB. ∴∠DEA=∠CFB. 又 ∵AD=BC ， ∴△ADE≌ △CBF. ∴ED=FB ， AE=FC. ∴EC=AF. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形 . * 10. （ 1 ） 证明 ： ∵△ABC 是等腰三角形 ， ∴∠ABC=∠C. ∵EG∥BC ， DE∥AC ， ∴∠AEG=∠ABC=∠C. ∴ 四边形 CDEG 是平行四边形 . ∴∠DEG=∠C. ∵BE=BF ， ∴ ∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC. ∴∠F=∠DEG. ∴BF∥DE. ∴ 四边形 BDEF 为平行四边形 . （ 2 ） 解： ∵∠C=45° ， 四边形 BDEF 为平行四边形， ∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=∠BDE= ∠C=45° ， BD=EF. ∴△BDE ， △BEF 是等腰直角三角形 . ∴BF=BE= 2 姨 2 BD= 2 姨 . 如 图， 作 FM⊥BD 于点 M ， 连接 DF ， 则 △BFM 是等腰直角三角形 . ∴FM=BM= 2 姨 2 BF= 1. ∴DM=3. 在 Rt△DFM 中， 由勾股定理得 DF= 1 2 +3 2 姨 = 10 姨 ， 即 D ， F 两点间的距离为 10 姨 ． 11. 证明： ∵EF∥AC ， ∴∠EDC+∠C=180°. 又 ∵∠EDC=∠CBE ， ∴∠CBE+∠C=180°. ∴EB∥DC. ∵EF∥AC ， 即 DE∥ BC ， ∴ 四边形 BCDE 是平行四边形 ． 12. 证明： ∵AF=CE ， ∴AF-EF=CE-EF． ∴AE=CF． ∵∠BAC=∠DCA ， ∴∠BAE=∠DCF ， AB∥CD． ∵BE⊥AC ， DF⊥AC ， ∴∠AEB＝∠CFD=90°． ∴△ABE≌△CDF （ ASA ） ． ∴AB=CD． 又 ∵AB∥CD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ． 2 平行四边形的判定 （第 2 课时） 1. AD=BC 或 AB∥DC 或 ∠BAD+∠ADC=180° 或 ∠BAD=∠BCD 2. B 3. 证明： ∵AC∥DB ， ∴∠D=∠C. 又 ∵AO=BO ， ∠AOC =∠BOD ， ∴△AOC≌△BOD. ∴OC=OD. ∵E ， F 分别是 OC ， OD 的中点， ∴OE= 1 2 OC ， OF= 1 2 OD. ∴OE = OF. 又 ∵AO=BO ， ∴ 四边形 AEBF 是平行四边形 . 4. 证明： 连接 MN 交 EF 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC ， AB∥DC. ∴∠ABD=∠CDB. ∵AE⊥BD ， CF⊥BD ， ∴∠AEB=∠CFD=90°. ∴△ABE≌△CDF. ∴BE=DF. ∵AD∥BC ， ∴∠MDO=∠NBO ， ∠BNO=∠DMO. ∵AD=BC ， M ， N 为 AD ， BC 的中点 ， ∴MD= 1 2 AD ， BN= 1 2 BC. ∴MD=BN. ∴△DMO≌△BNO. ∴OM=ON ， OB=OD. 又 ∵BE=DF ， ∴OE=OF. ∴ 四边形 ENFM 是平行四边形 . 5. 证明： EF∥HG ， EF=HG. 理由： 连接 HE ， GF. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC ， AD∥BC. ∴∠DAO= ∠BCO ， ∠AHO=∠CFO. ∴△AHO≌△CFO. ∴OH=OF. 又 ∵E ， G 分别是 OA ， OC 的中点， ∴OE=OG. ∴ 四边形 EFGH 是平 行四边形 . ∴EF∥HG ， EF=HG. * 6. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 BF. ∵∠ACB=90° ， ∠CAB=30° ， ∴∠ABC=60°. ∵△ABD 是等边三角 形 ， ∴∠BAD=∠BDA = 60° . ∴∠BAD =∠ABC =60° . ∵E 为 AB 的 中 点 ， ∴AE =BE. 又 ∠AEF = ∠BEC ， ∴△AEF≌△BEC. ∴AF = BC ， EF=EC. ∴ 四边形 AFBC 是平行四边形 . ∴BC∥AF ， AC∥BF. ∴ ∠CAF+∠ACB=180°. ∵∠ACB=90° ， ∴∠BFD=∠CAF=∠ACB=90°. ∵△ABD 是等边三角形， ∴DF=AF. ∴BC= DF. ∵BC∥AF ， 即 BC∥DF ， ∴ 四边形 BCFD 是平行四边形 . （ 2 ） 解： ∵ 四边形 BCFD 和四边 形 AFBC 都是平行四边形 ， ∴S 荀AFBC =BF · AF ， S 荀BCFD =BF · DF. 由 （ 1 ） 知 DF=AF ， ∴S 荀BCFD =S 荀AFBC . ∵ ∠ACB=90° ， ∠CAB=30° ， AB=6 ， ∴DF=BC= 1 2 AB=3. 由勾股定理 ， 得 AC= 3 3 姨 ， ∴BF=3 3 姨 . ∴S 荀BCFD =S 荀AFBC =3×3 3 姨 =9 3 姨 . 7. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO ， BO=DO. ∵BE=DF ， ∴EO=FO. ∴ 四边形 AECF 是平行四边 形 . （ 2 ） 解： ∵BE=EF ， ∴S △ABE =S △AEF =2. ∵ 四边形 AECF 是平行四边形， ∴S △AEF =S △CEF =2. ∵EO=FO. ∴△CFO 的面积等 于 1． 8. （ 1 ） 证明 ： 在 △AOE 和 △COD 中 ， ∵∠EAO＝∠DCO ， AO＝CO ， ∠AOE＝∠COD ， ∴△AOE≌△COD （ ASA ） . ∴OD＝OE. 又 ∵AO＝CO ， ∴ 四边形 AECD 是平行四边形 . （ 2 ） 解： ∵AB＝BC ， AO＝CO ， ∴OB⊥AC ， 即 DB⊥AC. ∵AC＝8 ， ∴CO＝ 1 2 AC＝4. 在 Rt△COD 中， 由勾股定理， 得 OD＝ CD 2 -CO 2 姨 ＝ 5 2 -4 2 姨 ＝3. ∴OE＝OD＝3. ∴S 四边形 AECD ＝ 1 2 AC · DO+ 1 2 AC · EO＝2× 1 2 ×8×3＝24． 2 平行四边形的判定 （第 3 课时） 1. （ 1 ） 15 （ 2 ） = 2. 答案不唯一， 如 AB=BF 3. B 4. 图 2 结论： PD+PE+PF=AB. 证明： 过点 P 作 MN∥BC 分别交 AB ， AC 于 M ， N 两点 . ∵PE∥AC ， PF∥AB ， ∴ 四边 形 AEPF 是平行四边形 ， ∠EPM=∠ANM ， ∴AE=PF. ∵MN∥BC ， PF∥AB ， ∴ 四边形 BDPM 是平行四边形 . ∴∠EPM= ∠ANM=∠C ， ∠EMP=∠B. ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C. ∴∠EMP=∠EPM. ∴PE=EM. ∴PE+PF=AE+EM=AM. ∵ 四边形 BDPM 是平 行四边形， ∴MB=PD. ∴PD+PE+PF=MB+AM=AB ， 即 PD+PE+PF=AB. 图 3 结论： PE+PF-PD=AB. 5. 7 或 17 G F D C A B E M 第 10 题答图 第 6 题答图 F A B C D E 192 参 考 答 案 6. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC ， AD＝BC. ∵E ， F ， G ， H 分别是平行四边形 ABCD 各边的中点， ∴AH∥CF ， AH＝CF. ∴ 四边形 AFCH 是平行四边 形 . ∴AM∥CN. 同理可证， 四边形 AECG 是平行四边形 . ∴AN∥CM. ∴ 四边形 AMCN 是 平行四边形 . （ 2 ） 解： 如图， 连接 AC ， BD 交于点 O ， ∴AO=CO. ∴ 点 M ， N 在 BD 上 . ∵H ， G 分别是 AD ， CD 的中点， ∴AH=DH ， CG=DG. ∴S △AON =S △CON ， S △AHN =S △DHN ， S △CGN = S △DGN ， S △AON +S △AHN +S △DHN =S △CON +S △CGN +S △DGN . ∴S △AHN +S △DHN =S △CGN +S △DGN . ∴S △ADN =S △DNC . 同理可 证 S △AHN +S △AON +S △CON =S △DHN +S △DGN +S △CGN . ∴S △AON +S △CON =S △DGN +S △CGN . ∴S △ACN =S △DNC . ∴S △ADN = S △ACN =S △DNC = 1 3 S △ADC . 又 ∵AC 是平行四边形 AMCN 和平行四边形 ABCD 的对角线， S 荀AMCN =4 ， ∴S △ACN = 1 2 S 荀AMCN =2 ， S 荀ABCD = 2S △ADC . ∴S 荀ABCD =12. 3 三角形的中位线 1. 6 2. 10 3. 18° 4. B 5. A 6. 证明： ∵D ， E 分别为 AC ， AB 的中点， ∴DE 为 △ABC 的中位线 . ∴DE∥BC ， 即 DE∥CF. 又 ∵∠ACB=90° ， ∴ ∠ADE=90° ， 即 ED⊥AD. 又 ∵AD=CD ， ∴AE=CE. ∴∠A=∠ACE. 又 ∵∠CDF=∠A ， ∴∠CDF=∠ACE. ∴DF∥CE. 又 ∵DE∥ CF ， ∴ 四边形 DECF 为平行四边形 . 7. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB=OD. ∵E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AO ， DC ， OC 的中点， ∴EF= 1 2 OB ， EF∥BD ， HG= 1 2 OD ， HG∥BD. ∴EF= HG ， EF∥HG. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . ∴∠FEH=∠FGH. 8. 证明： 连接 BD ， 交 AC 于点 O. ∵E 是 AB 的中点， G ， H 是 AC 的三等分点， ∴G 是 AH 的中点 . ∴EG 是 △ABH 的 中位线 . ∴EG∥BH ， 即 GD∥BH. 同理 HD∥BG ， ∴ 四边形 BHDG 是平行四边形 . ∴OB=OD ， OG=OH. 又 ∵AG=HC ， ∴OA= OC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 9. 证明： （ 1 ） ∵DA 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD=∠CAD. ∵AD∥ EM ， ∴∠BAD=∠AEF ， ∠CAD=∠AFE. ∴∠AEF=∠AFE. ∴AE= AF． （ 2 ） 如图， 延长 BE 至点 G ， 使 EG=BE ， 连接 GC. ∵BM=CM ， ∴EM∥CG. ∴∠G=∠AEF ， ∠ACG=∠AFE． ∵∠AEF=∠AFE ， ∴ ∠G=∠ACG. ∴AG=AC. ∴BE= 1 2 BG= 1 2 （ BA+AG ） = 1 2 （ AB+AC ） ． 10. （ 1 ） FG= 1 2 （ AC+AB-BC ） . 证明： 分别延长 AG ， AF 交 BC 于点 H ， K ， ∵AF⊥BD ， ∴∠AFB=∠KFB=90° . 又 ∵∠ABF= ∠KBF ， BF=BF ， ∴Rt△ABF≌Rt△KBF. ∴AF=FK ， AB=BK. 同理 AG=HG ， AC=CH ， ∴GF= 1 2 HK. ∵HK=BK－BH=AB+AC－BC ， ∴FG= 1 2 （ AC+AB-BC ） . （ 2 ） 解： 如图， 延长 AF ， AG 交射 线 BC 于点 M ， N ， 与 （ 1 ） 证法相同， 得 AB=BM ， AF=MF ， AC=CN ， AG=GN ， ∴FG= 1 2 MN ， MN=MC+CN=BC－AB+AC. ∴FG= 1 2 （ AC+BC-AB ） . 11. 8 12. C 13. 证明： ∵CD 平分 ∠ACB ， ∴∠ACD=∠BCD. ∵EF∥BC ， ∴∠FEC=∠BCD. ∴∠ACD=∠FEC. ∴EF=CF. ∵AE⊥CD ， ∴ ∠AEC=90°. ∴∠EAC+∠ACD=90° ， ∠AEF+∠FEC=90°. ∴∠EAC=∠AEF. ∴AF=EF. ∴AF=CF ， 即 F 是 AC 的中点 . ∵G 是 BC 的中点， ∴GF 是 △ABC 的中位线 . ∴FG= 1 2 AB． 4 多边形的内角和与外角和 （第 1 课时） 1. 7 2. 9 3. C 4. D 5. C 6. 解： 设 ∠A=x° ， 则 ∠B=x°+20° ， ∠C=2x° ， 则 x+ （ x+20 ） +2x+60=360. 解得 x=70 ， ∴∠A=70° ， ∠B=90° ， ∠C=140°. 7. 解： ∵ 五边形 ABCDE 的内角和为 （ 5－2 ） ×180°=540° ， 又 ∵AE∥CD ， ∴∠E+∠D=180°. ∵∠A=112° ， ∠B=105° ， ∴∠C=540°－∠A－ ∠B －∠E－∠D =540°－112°－105°－180°=143°. 8. 90°. 理由： ∵ 多边形的内角和一定是 180 的整数倍， 且每一个内角都小于 180° ， 又 ∵7×180°=1260°＜1350°＜1440°= 8×180° ， ∴ 这个多边形的内角和的度数为 1440°. ∴ 这个内角的度数为 1440°－1350°=90°. * 9. 解： 设原多边形的边数为 n. ① 当截线过不相邻的两个顶点时， （ n－2 ）· 180°－180°=1800° ， 解得 n=13 ； ② 当截线 过一个顶点时， （ n－2 ）· 180°=1800° ， 解得 n=12 ； ③ 当截线不过顶点时， （ n－2 ）· 180°+180°=1800° ， 解得 n=11. 综上这个 多边形的边数为 11 或 12 或 13. 10. 120° 11. 800° 12. 45° 13. 6 或 7 14. C 15. B 16. D 4 多边形的内角和与外角和 （第 2 课时） 1. 90 2. 7 3. 100° 4. 解： 由题意可得 （ n-2 ）· 180°-360°=1980° ， 解得 n=15 ， 由此得每个内角是 （ 15-2 ） ×180° 15 =156°. 5. 解 ： ∵∠DAE=∠E+∠F ， ∠EBG=∠H+∠G ， ∠GCM=∠M+∠N ， ∠CDP=∠P+∠Q ， ∠DAE+∠EBG+∠GCM+ ∠CDP=360° ， ∴∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N+∠P+∠Q=360°. 6. 6 7. 11 8. 48 9. C 10. A 11. B 12. A 第一章自我检测 1. C 2. C 3. D 4. B 5. D 6. A 7. 15° 8. 24 9. 9 cm ， 9 cm ， 6 cm 或 7 cm ， 7 cm ， 10 cm 10. 30° 或 150° 11. 13 cm 12. 15 13. 60° 14. ２４ 5 15. 证明： 连接 AD. ∵∠A=90° ， AB=AC ， ∴∠B=∠C=45°. ∵D 是 BC 边上的中点， ∴BD=DC ， AD⊥BC ， ∠BAD=∠CAD =45° ， ∴AD=BD ， ∠B=∠DAF. 又 ∵BE=AF ， ∴△ADF≌△BDE. ∴∠BDE=∠ADF. ∵∠ADE+∠BDE=90° ， ∴∠ADE+∠ADF= M N G F A B D E C 第 10 题答图 G F D C A B E M 第 9 题答图 第 6 题答图 A B C D E F G H O N M 193