精品解析：上海市浦东新区上海实验学校2024届高三下学期2月测验数学试卷

上海实验学校高三数学测验试卷 2024.2． 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，全集，则_________． 2. 双曲线的渐近线方程为_________． 3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数_________． 4. 若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则_________． 5. 若关于不等式的解集为，则实数的取值范围是_____________． 6. 若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，且该圆柱的上、下底面都在球的球面上，则球的表面积为_________． 7. 若，则正整数的值为_________． 8. 已知为无穷等比数列，，，则的公比为_________． 9. 记函数在上的最大值为，最小值为，则当时，的最小值为_________． 10. 设定义在上的偶函数满足，它在区间上的图像为如图所示的线段，则方程的最大实数根的值为_________． 11. 平面直角坐标系中，、两点到直线和的距离之和均为． 当最大时，的最小值为_________． 12. 已知数列满足：对任意，都有，， 设数列的前项和为，若，则的最大值为_________． 二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 14. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 15. 全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用． 例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”． 由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案． 已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为（ ） A. B. C. D. 16. 函数，其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确判断有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为3，底面半径为2． （1）求该圆锥侧面展开图的圆心角； （2）设、为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的大小． 18. 已知函数，． （1）求的单调递增区间； （2）在中，角A所对边，角所对边，若，求的面积． 19. 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）． 调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8． （1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关； 汽车日流量 汽车日流量 合计 的平均浓度 平均浓度 合计 （2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差． ①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值； ②若这50天汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到0.1） 参考公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2706 3.841 6.635 10.828 回归方程，其中． 相关系数． 若，则认为与有较强的线性相关性． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1． （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值； （3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围． 21. 设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”． （1）判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由； （2）设，求证：存在无穷多条“切线”； （3）设，求证：对任意实数和正数都是“函数” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海实验学校高三数学测验试