专题9.4 平面向量基本定理（四个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题9.4平面向量基本定理 知识点1平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 重难点1对基底概念的理解及辨析 【例1】下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． 其中，说法正确的为（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【例2】若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 【变式1-2】如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，设O是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组： ①与；  ②与；  ③与；  ④与． 其中可作为该平面内所有向量的基底的是（        ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ （1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 重难点2用基底表示向量 【例3】在中，，是的中线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知D，E分别为的边AB，BC上的点，且，，CD与AE相交于点O，若，则 ． 【变式2-1】在△ABC中，，，若点D满足，以作为基底，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在平行四边形中，，为的中点，延长交于点，若，求的值.    【变式2-3】如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 重难点3利用平面向量基本定理求参数 【例5】在平行四边形中，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例6】中，，P为线段中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 . 重难点4平面向量基本定理的应用 【例7】在中，点是的中点，点在边上，且与交于点，若，则长是（    ） A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 【例8】如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点. (1)若，求实数，的值； (2)若，求边的长. 【变式4-1】已知为的外接圆的圆心且，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是边BC的中点 B．若，则点是边BC的三等分点 C．若，则点是边的重心 D．若，且，则的面积是面积的 【变式4-3】如图，在中，若，，过点的直线交直线分别于两点，且，探究之间的关系.    1．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A．和 B．与 C．与 D．与 2．在中，点在直线上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，D，E分别是边BC和AC上的点，且，，BE与AD交于点F，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）    A． B．3 C． D． 5．（多选）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 6．（多选）已知