第二十八章 锐角三角函数-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级下册数学同步练习（人教版）大连专用

书 １　 ２８１ 锐角三角函数 （第一课时） 　　 !" 　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ． 　例题图 （１）ｓｉｎＢ可以由哪两条线段之比得到？ （２）若ＡＣ＝５，ＣＤ＝３，求ｓｉｎＢ的值． 【解】（１）∵ＣＤ⊥ＡＢ，∴∠ＣＤＡ＝９０°， ∴∠Ｂ＋∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝９０°，∴∠Ｂ＝∠ＡＣＤ． 在Ｒｔ△ＢＣＤ，Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＡＣＤ中， ∴ｓｉｎＢ＝ＣＤＢＣ＝ ＡＣ ＡＢ，∴ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ∠ＡＣＤ＝ ＡＤ ＡＣ． （２）在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∵ＡＣ＝５，ＣＤ＝３，∴ＡＤ＝ ＡＣ２－ＣＤ槡 ２＝ ５２－３槡 ２＝４， ∴ｓｉｎＢ＝ＡＤＡＣ＝ ４ ５． 【点拨】寻找图形中与∠Ｂ相等的∠ＡＣＤ，将求ｓｉｎＢ的值转化为求ｓｉｎ∠ＡＣＤ的值．再利 用勾股定理求出ＡＤ边的长度，从而求出ｓｉｎＢ的值． ２　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第１题图 　　１．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，则ｓｉｎＢ的值为 （　　） Ａ．５１３ Ｂ． ５ １２ Ｃ．１２１３ Ｄ． １２ ５ ２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，现将这个三角形的三边都变为原来的１２，则∠Ａ的正弦 值 （　　） Ａ．扩大为原来的２倍 Ｂ．缩小为原来的１２ Ｃ．不变 Ｄ．不能确定 ３．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝２，ｓｉｎＡ＝２３，则边ＡＣ的长是 ． ４．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝５１３，则ｓｉｎＢ等于 ． ５．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，求ｓｉｎＡ和ｓｉｎＢ的值． 　第５题图 　　６．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ＡＣ＝２ＢＣ，则ｓｉｎＡ的值是 （　　） Ａ．１２ Ｂ．２ Ｃ． 槡５ ５ Ｄ． 槡５ ２ 第７题图 ７．如图，已知点Ｐ的坐标是 （ａ，ｂ），则ｓｉｎα等于 （　　） Ａ．ａｂ Ｂ． ｂ ａ Ｃ． ａ ａ２＋ｂ槡 ２ Ｄ． ｂ ａ２＋ｂ槡 ２ ３　 ８．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ．已知 ＡＣ 槡＝５，ＢＣ＝２，则 ｓｉｎ∠ＡＣＤ＝（　　） Ａ．槡５３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． 槡２５ ５ Ｄ． 槡５ ２ ９．如图，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，且ＡＢ＝５，ＢＣ＝３，则 ｓｉｎ∠ＢＡＣ ＝ ，ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝ ． １０．如图，点 Ｍ是正方形 ＡＢＣＤ中边 ＡＤ的中点，且 ＢＥ＝３ＡＥ，则 ｓｉｎ∠ＥＣＭ＝ ． 第８题图 　　　　 第９题图 　　　　 第１０题图 １１．等腰三角形的底边长是１０，周长是４０，则其底角的正弦值是 ． １２．如图，在Ｒｔ△ＯＡＢ中，∠ＯＢＡ＝９０°，且点Ｂ的坐标为 （０，４）． （１）写出点Ａ的坐标． （２）画出△ＯＡＢ绕点Ｏ顺时针旋转９０°后的△Ｏ１Ａ１Ｂ１． （３）求出ｓｉｎ∠Ａ１ＯＢ１的值． 第１２题图 １３．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ｓｉｎＢ＝３５，点 Ｄ是 ＢＣ边上的一点，ＤＥ⊥ＡＢ 于点Ｅ，ＣＤ＝ＤＥ，ＡＣ＋ＣＤ＝９，求ＢＣ的长． 第１３题图 ４　 　　１４．（２０２２·滨州）在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，若∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２，则 ｓｉｎＡ的值为 ． １５． （２０２３·益阳）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，有三点 Ａ（０，１），Ｂ（４，１）， Ｃ（５，６），则ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝（　　） 第１５题图 Ａ．１２ Ｂ． 槡１３ ５ Ｃ．槡２２ Ｄ． 槡３ ２ ２８１ 锐角三角函数 （第二课时） 　　 !" 　如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＢＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ，ＡＤ＝ＢＣ， ＢＥ＝４． 　例题图 求：（１）ｔａｎＣ的值．（２）ＡＤ的长． 【解】（１）∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， ∴ＡＤ＝ＢＣ＝２ＤＣ． ∴ｔａｎＣ＝２． （２）∵ｔａｎＣ＝２，ＢＥ⊥ＡＣ，ＢＥ＝４，∴ＥＣ＝２． ∵ＢＣ２＝ＢＥ２＋ＥＣ２， ∴ＢＣ＝２槡５．∴ＡＤ＝２槡５． 【点拨】利用等腰三角形三线合一的性质，找到 ＡＤ，ＣＤ的数量关系．而∠Ｃ的正切值 是由 ＡＤ ＣＤ得到的结果，再利用勾股定理求出ＡＤ的长． 　　１．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边分别是 ａ，ｂ，ｃ，则下列关系错 误的是 （　　） Ａ．ａ＝ｂｔａｎＢ Ｂ．ａ＝ｃｃｏｓＢ Ｃ．ｂ＝ｃｓｉｎＢ Ｄ．ａ＝ｂｔａｎＡ ２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果ｃｏｓＡ＝３５，那么ｔａｎＢ的值是 （　　） Ａ．３５ Ｂ． ４ ５ Ｃ． ３ ４ Ｄ． ４ ３ ５　 ３．在正方形网格中，∠ＡＯＢ如图放置，则ｃｏｓ∠ＡＯＢ的值为 （　　） Ａ．槡５５ Ｂ． 槡２５ ５ Ｃ． １ ２ Ｄ．２ 第３题图 　　　　　　 第４题图　 　　４．如图，已知菱形ＡＢＣＤ，对角线ＡＣ＝１０ｃｍ，ＢＤ＝６ｃｍ，那么ｔａｎＡ２的值为 （