第九章 不等式与不等式组-【新课程能力培养】2023-2024学年七年级下册数学同步练习（人教版）大连专用

８０　 １．不等式的基本性质 （１）不等式的性质 １：不等式两边加 （或减）同一个数 （或式子），不等号的方向 ，用式子表示：如果ａ＞ｂ，那么ａ±ｃ ｂ±ｃ． （２）不等式的性质２：不等式两边乘 （或除以）同一正数，不等号的方向 ， 用式子表示：如果ａ＞ｂ，ｃ＞０，那么ａｃ ｂｃ或ａｃ ｂ( )ｃ． （３）不等式的性质３：不等式两边乘 （或除以）同一个负数，不等号的方向 ， 用式子表示：如果ａ＞ｂ，ｃ＜０，那么ａｃ ｂｃ或ａｃ ｂ( )ｃ． ２．解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并 ，把系数化 为１． ３．不等式解集及其数轴表示法 （１）不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围， 这个范围可用最简单的不等式来表示．如不等式ｘ－２≤６的解集为ｘ≤８． （２）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有 无限个解．如： !"# 表示２的点上的空心圆圈，表示不包括这一点． 【注意】不等式的性质是解不等式的重要依据．在解不等式时，值得注意的是，在不等 式的两边除以一个负数时，不等号的方向一定要 ． ４．一元一次不等式组 一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解 ８１　 集；求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 【注意】①求几个一元一次不等式组的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定．公共 部分是指数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖住的部分． ②求解不等式组的关键是求一元一次不等式的解集．由于一元一次不等式都可转化为ｘ ＞ａ或ｘ＜ａ的最简形式，因此只要分为两种情形讨论其解集即可 （不妨设ａ＞ｂ）： 当不等号的方向一致时 （称同向不等式），即 ｘ＞ａ， ｘ＞{ ｂ或 ｘ＜ａ，ｘ＜{ ｂ．对这类不等式组可按 “同 大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解 （如图１）．所以在图１中，不等式组 的解集为 ，在图２中，不等式组的解集为 ． 当不等号的方向相反时 （称异向不等式），即 ｘ＜ａ， ｘ＞{ ｂ．则若未知数的取值比大数小、比小 数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分 （如图３）．所以在图３中，不等式组的 解集为 ． 若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是 ，即没有公共部 分 （如图４）．所以在图４中，不等式组的解集为 ，即 ． 图１ 　　　　 图２ 　　　 图３ 　　　　 图４ 上述不等式组的解集用一句顺口溜表示：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大 小小解不了 （答：无解）． ５．不等式 （组）的应用 （１）列不等式解应用题的基本步骤：①审题；②设未知数；③列不等式；④解不等式； ⑤检验并写出答案． （２）列不等式组解决实际问题与列一次方程组解决实际问题的步骤大致相同，不同的 是前者寻找不等量关系，后者建立的是等量关系，并且解不等式组所得的结果通常为一解 集，需从解集中找出符合题意的答案． ９１ 不 等 式 ９１１　不等式及其解集 　　 !" 　　　　 下列各数哪些是不等式ｘ＋３＞７的解？哪些不是？ －４，－２５，０，１，２５，３，３２，４８，８，１２． 【解】当ｘ＝－４时，ｘ＋３＝－４＋３＝－１＜７，∴ｘ＝－４不是不等式 ｘ＋３＞７的解；同 理４８，８，１２是不等式ｘ＋３＞７的解；－４，－２５，０，１，２５，３，３２不是不等式的解． 【点拨】正确理解不等式的解的定义，在验证中注意运算的正确性． ８２　 　　１．下列各式中，是一元一次不等式的是 （　　） Ａ．ｘ≥５ｘ Ｂ．２ｘ＞１－ｘ ２ Ｃ．ｘ＋２ｙ＜１ Ｄ．２ｘ＋１≤３ｘ ２．当ｘ＝１时，下列不等式成立的是 （　　） Ａ．ｘ＋３＞４ Ｂ．ｘ－２＜１ Ｃ．ｘ＋１＞２ Ｄ．ｘ－１＜０ ３．数ａ，ｂ在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是 （　　） Ａ．ａ＞ｂ Ｂ．ａｂ＞０ Ｃ．ａ＋ｂ＞０ Ｄ．ａ＋ｂ＜０ 第３题图 　　 第４题图 　　 第５题图 　　 第６题图 ４．如图，数轴所表示的不等式的解集是 ． ５．已知关于ｘ的不等式２ｘ－ｍ≥－３的解集如图所示，则ｍ的值是 ． ６．如图，写出 ｘ的取值范围为 ，并根据结果化简 ｘ＋１ － ｘ－２ ＝ ． ７．用适当的符号表示下列关系： （１）ｘ的１３与ｘ的２倍的和是非正数； （２）一枚炮弹的杀伤半径不小于３００ｍ； （３）３件上衣与４条长裤的总价钱不高于２６８元； （４）明天下雨的可能性不小于７０％； （５）小明的体重不比小刚轻． 　　８．有理数ｍ，ｎ在数轴上如图所示，用不等号填空． 第８题图 （１）ｍ＋ｎ ０； （２）ｍ－ｎ ０； （３）ｍｎ ０； （４）ｍ２ ｎ； （５） ｍ ｎ． ８３　 ９．根据下列各图，把ｘ的解集用不等式表示出来． 第９题图 １０．在数轴上表示下列不等式