第6章 平面向量及其应用 章末复习方案（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

章末复习方案 （见学生用书P38） 知识网络·融会贯通 知识整合·要点突破 探究一　平面向量的线性运算 在进行向量的线性运算时，要能把向量转化到三角形、多边形或平行四边形中，熟练运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，并结合三角形中的中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解.当M是线段AB的中点时，＝（＋）是中点公式的向量形式，应当作公式记忆.当已知向量的坐标容易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题. 【真题1】（1）（2022·新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记＝m，＝n，则＝ （　　） A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n （2）（2021·全国乙）已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，则λ＝　　　　. 解析（1）由题意得＝，根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋－，化简得＝－，即＝3－2＝3n－2m.故选B项. （2）因为a＝（2，5），b＝（λ，4），a∥b，所以2×4－λ×5＝0，解得λ＝. 答案（1）B　（2） 探究二　平面向量的数量积及其几何意义 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量数量积的运算法则求解.注意向量的数量积不满足消去律和结合律.根据向量数量积定义的变形还可以求夹角和模. 【真题2】（1）（2022·全国甲）已知向量a＝（m，3），b＝（1，m＋1），若a⊥b，则m＝　　　　. （2）（2023·新高考Ⅱ）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝　　　　. 解析（1）由题意得a·b＝m×1＋3×（m＋1）＝0，解得m＝－. （2）方法一　因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，即（a＋b）2＝（2a－b）2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为｜a－b｜＝，即（a－b）2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝. 方法二　设c＝a－b，则｜c｜＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意得（c＋2b）2＝（2c＋b）2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即｜b｜＝｜c｜＝. 答案（1）－　（2） 【真题3】（1）（2022·新高考Ⅱ）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝ （　　） A.－6 B.－5 C.5 D.6 （2）（2023·天津）在△ABC中，∠A＝60°，BC＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设＝a，＝b，则可用a，b表示为　　　　；若＝，则·的最大值为　　　　. 解析（1）由题意得，c＝a＋tb＝（3＋t，4），cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，所以＝，即＝，解得t＝5.故选 C项. （2）因为E为CD的中点，所以＝＋＝＋＝a＋b.＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b，记AB＝x，AC＝y，则·＝·＝·（2a2＋5a·b＋2b2）＝（2x2＋5xycos 60°＋2y2）＝·，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝x2＋y2－2xycos 60°＝x2＋y2－xy＝1，所以·＝＝，由x2＋y2－xy＝1和基本不等式得x2＋y2－xy＝1≥2xy－xy＝xy，故xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，此时·有最大值. 答案（1）C　（2）a＋b　 探究三　应用正、余弦定理解三角形 解斜三角形的常规思维方法 （1）已知两角和一边（如A，B，c），由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. （2）已知两边和夹角（如a，b，C），应用余弦定理求c；再应用正弦定理求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角. （3）已知两边和其中一边的对角（如a，b，A），应用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况，也可设出第三边，利用余弦定理建立方程，解方程即可. （4）已知三边a，b，c，应用余弦定理求A，B，再由A＋B＋C＝π求角C.熟练运用余弦定理、正弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 【真题4】（1）（2023·全国甲）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝　　　　. （2）（2023·全国乙）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. ①求sin∠ABC； ②若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积. 解析（1）如图，记AB＝c，AC＝b，BC＝a. 方法一　由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b＞0，解得