7.2.2 复数的乘、除运算（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.2.2　复数的乘、除运算 （见学生用书P51） [学习目标]1.掌握复数代数表示式的乘法和除法的运算法则（重点）.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.发展数学抽象和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　复数的乘法 1.运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝　（ac－bd）＋（ad＋bc）i　. 2.运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝　z2z1　 结合律 （z1z2）z3＝　z1（z2z3）　 乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝　z1z2＋z1z3　 思考：复数的乘法运算与多项式乘法运算类似吗？ 提示类似，多项式乘法的运算律在复数乘法中也成立，但结果要将实部、虚部分开（i2换成－1）. 要点二　复数的除法 1.运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0），则＝＝　＋i　. 2.复数的除法运算 复数除法运算的实质是分母“实数化”（分子、分母同乘分母的“实数化因式”，即分母的共轭复数），将复数的除法运算转化为复数的乘法运算进行求解. 3.复数代数运算中的常用结论 （1）（1±i）2＝±2i，＝i，＝－i. （2）（－±i）3＝1. （3）（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2（a，b∈R）. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减. （　　） （2）两个共轭复数的和与积都是实数. （　　） （3）若ω＝（i为虚数单位），则ω3＝1. （　　） （4）若z为纯虚数，则z2≥0. （　　） 解析（1）正确，加减乘除的混合运算法则都是先乘除，后加减. （2）正确，若z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，所以z＋＝2a，z＝a2＋b2，2a与a2＋b2都是实数. （3）错误，ω3＝（）3＝ ＝＝－i. （4）错误，i是纯虚数，i2＝－1＜0. 答案（1）√　（2）√　（3）×　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　复数的乘法 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 复数的乘法运算技巧 （1）复数乘法的运算法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数. （2）复数乘法的运算律：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. （3）i的幂的周期性：如果n∈N，则有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 【例题1】 计算下列各式的值. （1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）； （2）（1＋3i）（4－i）； （3）（2＋i）（1－i）（3＋4i）. 解析（1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）＝1－i2＋（－1＋i）＝2＋（－1＋i）＝1＋i. （2）（1＋3i）（4－i）＝4－i＋12i－3i2＝7＋11i. （3）（2＋i）（1－i）（3＋4i）＝（2－2i＋i－i2）·（3＋4i）＝（3－i）·（3＋4i）＝9＋12i－3i－4i2＝13＋9i. 【变式1】设ω＝－＋i，求证：（1）1＋ω＋ω2＝0；（2）ω3＝1. 证明（1）因为ω2＝（－＋i）2 ＝－i－＝－－i， 所以1＋ω＋ω2＝1＋（－＋i）＋（－－i）＝0. （2）ω3＝ω·ω2＝（－＋i）（－－i） ＝（－）2－（i）2＝＋＝1. 【例题2】当z＝－（i为虚数单位）时，z100＋z50＋1＝ （　　） A.1 B.－1 C.i D.－i D　解析因为z2＝（－）2＝＝－i，所以z100＋z50＋1＝（－i）50＋（－i）25＋1＝[（－i）2]25＋（－i）＋1＝－1－i＋1＝－i.故选D项. 【变式2】计算1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝ （　　） A.－i B.i C.0 D.1 D　解析因为ik＋ik＋1＋ik＋2＋ik＋3＝ik（1＋i＋i2＋i3）＝ik（1＋i－1－i）＝0（k∈Z），所以1＋i＋i2＋…＋i100＝1＋（i＋i2＋i3＋i4）＋（i5＋i6＋i7＋i8）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋0＋…＋0＝1.故选D项. 探究二　复数的除法 　　规律总结　　　　　　　　　　　 两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数，在进行复数除法运算时，通 常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成（c＋di≠0）的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简后可得结果.这与无理根式的除法运算是类似的，在无理根式的除法运算中，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”.在这里分子、分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”. 【例题3】计