7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 （见学生用书P48） [学习目标]1.掌握复数代数表示式的加、减法的运算法则（重点）.2.了解复数加、减运算的几何意义（重点）.3.发展数学运算和数学抽象的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　复数加法与减法的运算法则 1.复数的加法和减法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝　（a＋c）＋（b＋d）i　，z1－z2＝　（a－c）＋（b－d）i　. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝　z2＋z1　，（z1＋z2）＋z3＝　z1＋（z2＋z3）　. 思考：复数的加、减法可以推广到多个复数相加、减吗？ 提示复数的加、减法可以推广到多个复数相加、减的情形.设复数z1＝a1＋b1i（a1，b1∈R），z2＝a2＋b2i（a2，b2∈R），…，zn＝an＋bni（an，bn∈R），则z1±z2±…±zn＝（a1＋b1i）±（a2＋b2i）±…±（an＋bni）＝（a1±a2±…±an）＋（b1±b2±…±bn）i. 要点二　复数加、减法的几何意义 1.如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是　　，与z1－z2对应的向量是　　. 2.复平面内两点间的距离公式 公式d＝　｜z2－z1｜　　，其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1和Z2之间的距离. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）两个虚数的和或差可能是实数. （　　） （2）在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部. （　　） （3）关于复数的减法的结论（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立. （　　） （4）复数z是实数的充要条件是z＝. （　　） 解析（1）正确，复数的和或差可以是实数也可以是虚数. （2）正确，根据复数的加法法则知说法正确. （3）错误，关于复数的减法的结论（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）一定成立. （4）正确，设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝⇔a＋bi＝a－bi⇔b＝0⇔z是实数. 答案（1）√　（2）√　（3）×　（4）√ 关键能力·素养提升 探究一　复数的加、减法运算 　　规律总结　　　　　　　　　　　 （1）设a＋bi与c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数. ①当b＝0，d＝0时，复数的加、减法法则与实数的加、减法法则一致；②加法运算的交换律、结合律在复数集中仍成立； ③符合向量加法的平行四边形法则. （2）法则的记忆：可以类比合并同类项，两个复数相加（减），就是实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）. 【例题1】计算：（1）（1＋2i）＋（3－4i）－（5＋6i）； （2）5i－[（3＋4i）－（－1＋3i）]； （3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i（a，b∈R）. 解析（1）（1＋2i）＋（3－4i）－（5＋6i） ＝（4－2i）－（5＋6i）＝－1－8i. （2）5i－[（3＋4i）－（－1＋3i）]＝5i－（4＋i）＝－4＋4i. （3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i ＝（a－2a）＋[b－（－3b）－3]i＝－a＋（4b－3）i. 【变式1】计算：（1）（3＋5i）＋（3－4i）； （2）（－1＋i）＋（1－i）； （3）3＋（4－5i）. 解析（1）（3＋5i）＋（3－4i） ＝（3＋3）＋[5＋（－4）]i＝6＋i. （2）（－1＋i）＋（1－i） ＝（－1＋1）＋[＋（－）]i＝0. （3）3＋（4－5i）＝（3＋4）＋[0＋（－5）]i＝7－5i. 探究二　复数加、减法运算的几何意义 　　规律总结　　　　　　　　　　　 复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）分别对应复平面上的向量，，则有＝（a，b），＝（c，d）.由平面向量的坐标运算，知＋＝（a＋c，b＋d）.这说明两个向量与的和就是复数z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量.因此复数的加法可以按照向量的加法来进行.这就是复数加法的几何意义.由平面向量的坐标运算，知－＝（a－c，b－d）.这说明两个向量与的差就是复数z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i对应的向量.因此复数的减法可以按照向量的减法来进行.这就是复数减法的几何意义. 【例题2】已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i. （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积. 解析（1）因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，所以向量对应的复数为－＝（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.又＝＋，其中O为坐标原点，所