7.1.2 复数的几何意义（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.1.2　复数的几何意义 （见学生用书P45） [学习目标]1.了解复平面的概念，掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等相关概念（重点）.2.理解复数的几何意义（重点）.3.发展数学抽象和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　复数的几何意义 1.复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做　复平面　，x轴叫做　实轴　，y轴叫做　虚轴　.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的两种几何意义 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点　Z（a，b）　； （2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量　　. 要点二　复数的模和共轭复数 1.复数的模 （1）定义：复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为，则的模叫做复数z的模或　绝对值　，记作｜z｜或　｜a＋bi｜　，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　. （2）几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi（a，b∈R）所对应的点Z（a，b）到原点（0，0）的距离. 2.共轭复数 （1）一般地，当两个复数的实部　相等　，虚部　互为相反数　时，这两个复数叫做互为共轭复数. （2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做　共轭虚数　.　 （3）复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝　a－bi　. 思考：互为共轭复数的两复数的模有何关系？在复平面内它们对应的点有何关系？ 提示互为共轭复数的两复数的模相等，在复平面内它们对应的点关于实轴对称. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）在复平面内，原点是实轴和虚轴的交点. （　　） （2）复数的模一定是正实数. （　　） （3）在复平面内，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（　　） （4）若两个复数互为共轭复数，则它们的模相等. （　　） 解析（1）正确，根据复平面的相关概念可知正确. （2）错误，复数的模可能是0. （3）错误，虚轴上的原点不表示纯虚数. （4）正确，设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，因此｜z｜＝｜｜＝. 答案（1）√　（2）×　（3）×　（4）√ 关键能力·素养提升 探究一　复平面与复数的几何意义 　　规律总结　　　　　　　　　　　 根据复数的定义，任何一个复数z＝a＋bi（a，b∈R），都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定，而每一个有序实数对（a，b）在平面直角坐标系中又唯一确定一个点Z（a，b）（或一个向量），这就是说，每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来，平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量）也对应着唯一的一个有序实数对.这样我们通过有序实数对，可以建立复数 z＝a＋bi（a，b∈R）和点Z（a，b）（或向量）之间的一一对应关系.点Z和向量是复数z的几何表示，如图所示. 【例题1】（1）当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋（k2－5k－6）i对应的点位于下列位置？ ①x轴正半轴上； ②y轴负半轴上； ③第四象限的平分线上. （2）在复平面内画出下列复数对应的向量. 1，－＋i，－－i. 解析（1）因为k为实数，所以k2－3k－4，k2－5k－6都是实数，所以复数z＝k2－3k－4＋（k2－5k－6）i对应的点的坐标为（k2－3k－4，k2－5k－6）. ①由题意得 解得所以k＝6.所以当k＝6时，复数z对应的点位于x轴正半轴上. ②由题意得 解得所以k＝4.所以当k＝4时，复数z对应的点位于y轴负半轴上. ③由题意得 解得所以k＝5. 所以当k＝5时，复数z对应的点位于第四象限的平分线上. （2）如图，在复平面内画出各复数对应的向量. 显然复数1，－＋i，－－i对应的向量分别为，，. 【变式1】（1）在复平面内，向量对应的复数为2－i，将向量向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到向量，则向量对应的复数是　　　　. （2）当实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i的点位于下列位置？ ①第二象限； ②直线y＝x上. 解析（1）向量平移时向量的坐标表示不变，则向量对应的复数也不变，所以向量对应的复数是2－i. 答案2－i （2）根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i的点就是点Z（a2＋a－2，a2－3a＋2）. ①由点Z位于第二象限，得解得－2＜a＜1. 故满足条件的实数a的取值范围为（－2，1）. ②由点Z位于直线y＝x上，得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1. 探究二　　复数的模 　　规律总结　　　　　　　　　　 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用模的公式进行计算.两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.【例题2】求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小