6.4.3 第3课时应用举例（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例 （见学生用书P35） [学习目标]1.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题（难点）.2.发展数学建模和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　基线 1.定义：在测量过程中，根据　测量　的需要而确定的线段叫做基线. 2.性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的　基线长度　，使测量具有较高的　精确度　.一般来说，基线越长，测量的精确度越　高　. 要点二　在测量中的专业术语与含义 1.坡角：坡面与水平面的夹角，如图1中的角α. 图1 2.仰角和俯角：在同一铅垂平面内的视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角，如图2所示. 图2 3.方位角：指从　正北　方向　顺时针　转到目标方向线所成的角.如图3所示，点B的方位角为α. 图3 4.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图4所示. 图4 要点三　解三角形应用题的基本思路和步骤 1.解三角形应用题的基本思路 实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解. 2.解三角形应用题的步骤 （1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语. （2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出. （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答. （4）还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位，近似计算的要求等. 思考：正弦定理、余弦定理能帮助我们解决哪些类型的测量问题？ 提示理论上分析，由于正弦定理、余弦定理能够帮助我们求解三角形，因此凡是能够构造出三角形的测量问题都能通过正弦定理和余弦定理来解决.一般地，我们常用它们来解决距离的测量、高度的测量和角度的测量等问题. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）精确度的高低与基线的长短无关. （　　） （2）两个不可到达的点之间的距离无法求得. （　　） （3）方位角和方向角是一样的. （　　） （4）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α＋β＝90°. （　　） 解析（1）错误，测量的精确度的高低与基线的长短有关，基线越长，测量的精确度越高. （2）错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得. （3）错误，方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）. （4）错误，根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，则α＝β. 答案（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 关键能力·素养提升 探究一　　测量距离问题 　　解题技巧　　　　　　　　　　　 当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离常见的类型. （1）两点间可视但不可到达（如图1）：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB； （2）两点都不可到达（如图2）：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，用余弦定理求出AB. 【例题1】如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则A，B两点间的距离为　　　　（用含a的式子表示）. 解析由题意可知，在△ACD中，CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以△ACD是正三角形，所以AC＝a. 因为∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，所以∠CBD＝45°. 在△BCD中，由正弦定理可以得到BC＝＝＝a. 在△ABC中，∠ACB＝30°，由余弦定理可以得到AB＝＝a. 答案a 【变式1】如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为 （　　） A.50 m B.50 m C.25 m D. m A　解析由正弦定理得＝，又因为∠ABC＝180°－105°－45°＝30°，所以AB＝＝＝50（m）.故选A项. 探究二　测量高度问题 　　误区防错　　　　　　　　　　　 解决测量高度问题时的注意点 （1）要清楚仰角与俯角的区别及联系. （2）测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决. （3）要注意“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此要先选