6.4.3 第1课时 余弦定理（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理　第一课时　余弦定理 （见学生用书P29） [学习目标]1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理（重点）.2.发展逻辑推理和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　余弦定理 余弦 定理 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于　其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍　 公式 表达 a2＝　b2＋c2－2bccos A　， b2＝　a2＋c2－2accos B　， c2＝　a2＋b2－2abcos C　 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝， b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C 要点二　解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边　a　，　b　，　c　叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做　解三角形　. 要点三　余弦定理在解三角形中的应用 余弦定理可解决两类问题： （1）已知　两边及一角　，求第三边和其他两角； （2）已知　三边　，求各角. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形. （　　） （2）在△ABC中，若BC2＞AC2＋AB2，则△ABC一定为钝角三角形. （　　） （3）在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不唯一. （　　） （4）勾股定理是余弦定理的特殊情况. （　　） 解析（1）正确，余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形. （2）正确，当BC2＞AC2＋AB2时，cos A＝＜0.因为0＜A＜π，所以A一定为钝角，所以△ABC为钝角三角形. （3）错误，当已知△ABC的两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边且唯一，因此△ABC唯一确定. （4）正确，当角C为直角时，cos C＝0，所以c2＝a2＋b2，所以勾股定理是余弦定理的特殊情况. 答案（1）√　（2）√　（3）×　（4）√ 关键能力·素养提升 探究一　已知两边及一角解三角形 　　规律总结　　　　　　　　　　　 （1）在已知两边及一角求第三边时，直接利用余弦定理求解即可. （2）在已知两边及其夹角求角时，要先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理的推论求解. 【例题1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解三角形. 解析易知cos 15°＝cos（45°－30°）＝， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×（＋）＝8－4， 所以c＝＝－. 所以cos A＝＝. 又0°＜A＜180°，所以A＝30°， 所以B＝180°－A－C＝180°－30°－15°＝135°. 【变式1】（2021·全国甲）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝ （　　） A.1 B. C. D.3 D　解析设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由余弦定理得19＝a2＋4－2×2×a×cos 120°，即a2＋2a－15＝0，解得a＝3（a＝－5舍去），故BC＝3.故选D项. 探究二　已知三边解三角形 　　规律总结　　　　　　　　　　　 已知三边解三角形的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为零，角为直角；值为负，角为钝角，结果唯一.若已知三边的关系，要看是否可以整体代入得到角的余弦值；若已知三边的比例关系，可以直接利用余弦定理求出角的余弦值，因为余弦定理变形式本身也是一个齐次的分式. 【例题2】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，c＝3＋，解此三角形. 解析由题意和余弦定理的推论可以得到cos A＝＝＝.又0°＜A＜180°，所以A＝45°.同理可得B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°. 【变式2】（1）在△ABC中，已知AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·＝ （　　） A.19 B.－14 C.－18 D.－19 （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则A＝ （　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析（1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝5，b＝6，c＝7，cos B＝＝＝，所以·＝7×5×＝－19.故选D项. （2）因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，所以A＝60°.故选B项. 答案（1）D　（2）B 探究三　应用余弦定理判断三角形的形状 　　规律总结　　　　　　　　　　　 应用余弦定理确定三角形的形状，主要有两种