6.4.1～6.4.2 平面几何中的向量方法～向量在物理中的应用举例（word练习）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 （见学生用书P26） [学习目标]1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用（难点）.2.发展数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 要点一　平面几何中的向量方法 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用　向量　表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为　向量问题　； （2）通过　向量运算　，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“　翻译　”成几何关系. 2.平面几何中证明问题的具体转化方法 （1）证明线段AB＝CD，可转化为证明＝. （2）证明线段AB∥CD，只需证明存在一个实数λ≠0，使　＝λ　成立. （3）证明两线段AB⊥CD，只需证明数量积·＝　0　. （4）证明A，B，C三点共线，只需证明存在一个实数λ≠0，使＝　λ（或λ）　. 3.平面向量及三角形的“四心” 设O为△ABC所在平面内一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 （1）O为△ABC的外心⇔｜｜＝｜｜＝｜｜. （2）O为△ABC的重心⇔＋＋＝0. （3）O为△ABC的垂心（三角形三边高的交点）⇔·＝·＝·. （4）O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 要点二　向量在物理中的应用 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象.在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识. （1）力、速度、加速度、位移都是向量. （2）力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减法. （3）动量mv就是质量m与速度v的积. （4）功的定义即是力F与所产生的位移s的数量积F·s. 思考：用向量法解答物理问题的过程中，在给出答案时除了要考虑向量本身的意义，还要考虑什么？ 提示还要考虑所给出的结果是否满足实际意义. 关键能力·素养提升 探究一　向量在几何中的应用 　　规律总结　　　　　　　　　　　 将平面几何问题转化为向量问题后，可以用向量运算，也可以用向量的坐标运算.利用坐标法解决几何问题的一般步骤：①建立平面直角坐标系；②设出相关点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算求出结果；⑤作出结论. 【例题1】（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. （2）已知E为△ABC内一点，若＋2＋3＝0，△EBC，△ABC的面积分别为S'，S，求证：S＝6S'. 证明（1）方法一　由题意可得AE＝AB，BF＝BC＝AD.设＝a，＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0.又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0.故⊥，即AF⊥DE. 方法二　如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），所以＝（2，1），＝（1，－2）.因为·＝2×1＋1×（－2）＝0，所以⊥，即AF⊥DE. （2）如图，设AC，BC边的中点为F，P，连接EF，EP. 因为＋2＋3＝0，所以＋＝－2（＋）， 所以2＝－4，即＝－2，所以F，E，P三点共线. 设点E，F到BC的距离分别为d1，d2，则d1∶d2＝1∶3. 设点A到BC的距离为d3.因为F是AC的中点，所以d2∶d3＝1∶2，所以d1∶d3＝1∶6，所以S'∶S＝d1∶d3＝1∶6，即S＝6S'. 【变式1】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形. （1）求证：PA＝EF； （2）求证：PA⊥EF. 证明（1）以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设正方形的边长为1，｜｜＝λ（0＜λ＜），则A（0，1），C（1，0），P（λ，λ），E（1，λ），F（λ，0），所以＝（－λ，1－λ），＝（λ－1，－λ），所以｜｜2＝λ2－λ＋1，｜｜2＝λ2－λ＋1，所以｜｜2＝｜｜2，所以PA＝EF. （2）因为·＝－λ（λ－1）＋（1－λ）·（－λ）＝－λ2＋λ－λ＋λ2＝0，所以⊥，即PA⊥EF. 探究二　向量在物理中的应用 　　答题模板　　　　　　　　　　　 用向量解答物理问题的一般步骤： （1）建模，把物理问题转化成数学问题； （2）解模，解答得到的数学问题； （3）回答，利用解得的数学答案解释物理现象. 【例题2】（1）某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2（｜v1｜＞｜v2｜），则逆风行驶时的速度大小为 （　　） A.v1＋v2 B.v1－v2 C.｜v1｜＋｜v2｜ D.｜v1｜－｜v2｜ （2）一质点受到平面上三个